Olympiade Math - Algèbre 02 - Ex 39

Trouver tous les couples (x, y) de nombres entiers relatifs
Tels que : y=2x²+5xy+3y²

Solution

 y=2x²+5xy+3y²

⇔4x²+10xy+6y²-2y=0

⇔(2x)²+2(2x)(5/2 y)+(5/2 y)²-(5/2 y)²+6y²-2y=0

⇔(2x+5/2 y)²-(5/2 y)²+6y²-2y=0

⇔(2x+5/2 y)²-1/4 y²-2y=0

⇔(4x+5y)²-y²-8y=0

⇔(4x+5y)²-(y²+8y+16)+16=0

⇔(4x+5y)²-(y+4)²=16

⇔(4x+5y-y-4)(4x+5y+y+4)=-16

⇔(4x+4y-4)(4x+6y+4)=-16
⇔(x+y-1)(2x+3y+2)=-2

on pose x+y-1=a (1) & 2x+3y+2=b (2)

on a: ab=-2
(a,b) ∈{(1,-2);(-1,2);(2,-1);(-2,1)}

3(1)-(2):

⇒3x+3y-3-2x-3y-2=3a-b

⇒x=3a-b+5 (3)
⇒y=a+1-x
Donc:
(x,y) ∈{(-2,1);(12,-9);(0,0);(10,-8)}

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