Olympiade Algèbre Niv 01

Notion de Logique: Raisonnement par Récurrence (3 cas)
cas 1 (=): Montrer que ∀n∊IN* ; 1+3+5+....+2n-1 = n²
cas 2 (≥): Montrer que ∀n∊IN; $2^n\ge n²$

cas 3 (divise): Montrer que ∀n∊IN; 3 divise $4^n+3^n-1$

Montrer que pour tout n de IN: $\sqrt{8n+2014}$ ∉ IN

1

On donne: $1^3+2^3+....{.14}^3+{15}^3=14400$
Calculer: $2^3+4^3+6^3....{.28}^3+{30}^3$

2
$x,y$ et $z$ trois nombres réels strictement positifs,
Montrer que: $(x+y)(y+z)(z+x)\ge 8xyz$

3
Calculer:
$\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}}+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$

4
$x,y$ et $z$ trois nombres réels positifs,
Tel que: $2(z^2-y^2)=3x^2$,
Trouvez le plus grande de ces trois nombres

5
$x,$ et $y$ deux nombres réels, tel que: $x+y=1$
Montrez que: $xy\le \frac{1}{4}$

6
On donne: $x=1^2-2^2+3^2-4^2.....+{99}^2-{100}^2$ 

et $y=1+2+3+4.......+99+100$ Montrer que: $x+y=0$

7
$x,y$ et $z$ trois nombres réels strictement positifs
Montrer que: $\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\ge x+y+z$

8
$x,y$ et $z$ trois nombres réels strictement positifs,
Montrer que: $\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}\ge 6$

16
$x,y$ et $z$ trois nombres réels strictement positifs,
Montrer que: $(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\ge 9$


9
$x,y$ et $z$ trois nombres réels strictement positifs et m ∊ IR,
tel que: $xyz=1$, Montrer que:
si $\frac{2mx}{xy+x+1}+\frac{2my}{yz+y+1}+\frac{2mz}{zx+z+1}=1$ alors $m=\frac{1}{2}$

10
$x,y$ et $z$ trois nombres réels strictement positifs,
Montrer que: $\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\ge x+y+z$

21
$x,y$ et $z$ trois nombres réels non nul,
Tel que: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=0$
Montrer que: $(x+y+z)²=x²+y²+z²$

11
Pour quelle valeur de $a$ l’équation:
$|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|=a$
admet - elle une solution unique ?

12
$x,y$ deux nombres réels strictement positifs
Montrer que: $\frac{x}{x^4+y^2}+\frac{y}{y^4+x^2}\le \frac{1}{xy}$

13
$x$ et $y$ deux nombres réels non nul,
Tel que: $\frac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}=\frac{1}{3}$
Calculer: $\frac{x}{y}$

14
$x$ et $y$ deux nombres réels,
Tel que: $x>1$ et $y>1$
Montrer que: $y\sqrt{x-1}+x\sqrt{y-1}\le xy$


12
$x,yetz$ trois nombres réels,

Tel que: $x+y+z\ne 0$ et

$\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}=0$

Montrer que: $\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=1$


15
$x,y$ et $z$ trois nombres réels non nul,
Tel que: $(x+y+z)²=x²+y²+z²$,
Montrer que: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0$




17
$x,y$ et $z$ trois nombres réels strictement positifs,
Montrer que: $\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{2z}\ge \frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+xy}$

18
$x,y$ deux nombres réels strictement positifs,
Montrez que: $\frac{x}{y^2}+\frac{y}{x^2}\le \frac{1}{x}+\frac{1}{y}$

20
$x$ nombre réel strictement positif,
Tel que: $x^2+\frac{1}{x^2}=7$,
Calculer: $\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}$

_______________________________________

22
$x,$ et $y$ deux nombres réels,
Tel que: $(x+\sqrt{x^2-1})(y+\sqrt{y^2-1})=1$
Montrez que: $x+y=0$


19

Soient $x,y$ et $z$ des nombres strictement positifs,

Tel que: $x\ge y\ge z$,
Montrer que:
$\frac{x^2-y^2}{z}+\frac{z^2-y^2}{x}+\frac{x^2-z^2}{y}\ge 3x-4y+z$

23
$x$ un nombre réal,
Tel que: $x>1$ et $x=\frac{\sqrt{2}{x}^2+\sqrt{2}}{20}$
Montrez que: $14x+1=x^2$

25
Soient $x$ et $y$ deux nombres réels différents strictement positifs,
Tel que: $x+2y=3\sqrt{xy}$
Calculer: $\frac{x}{y}$

26
$x$ et $y$ deux nombres réels différents,
Tel que: $x^2=y+2019$ et $y^2=x+2019$
Calculer: $xy$

27
Soient $x,y$ et $z$ des nombres réels strictement positifs,
Montrer que:
$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\ge \frac{3}{2}$

28
$x,y,z$ et $t$ des nombres réels strictement positifs,
Montrer que: $(x+y+z+t)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t})\ge 16$

29

$x,y$ deux nombres réels tel que:  $x>1$ et $y>1$

Montrer que: $y\sqrt{x-1}+x\sqrt{y-1}\le xy$

30

$x,y,z$ et $t$ trois nombres réels strictement positifs,
Montrer que: $(x+y+z+t)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t})\ge 16$

31

Soient $a,b$ et $c$ des nombres réels,
Montrer que: $(a+b+c{)}^2\le 3(a^2+b^2+c^2)$

32
Soient $x,y$ et $z$ des nombres réels strictement positifs,
Montrer que: $\sqrt{6x+1}+\sqrt{6y+1}+\sqrt{6z+1}\le 3\sqrt{3}$

33

$x$ et $y$ deux nombres positifs,

Tel que: $\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}=1$

Montrer que: $\frac{x}{y^2+1}-\frac{y}{x^2+1}=x-y$

34

$x,y$ et $z$ trois nombres réels,

Tel que: $\{\begin{array}{l}{x}^3=2y-1\\ y^3=2z-1\\ z^3=2x-1\end{array}$

Montrer que:   $x=y=z$ 

35

$a,b$ et $c$ des nombres réels non nuls,

Tel que: $\{\begin{array}{l}a+b=2ab\\ b+c=3bc\\ c+a=7ac\end{array}$

Déterminer $a,b$ et $c$

36

Résoudre dans  $I{R}^2$ le système suivant:

$\{\begin{array}{l}{x}^3+y^3=9\\ x^2-xy+y^2=3\end{array}$

37

Calculer les sommes Suivantes:

$S_1=1+2+3+....+2023$

$S_2=3^1+3^2+3^3+....+3^{2}023$

38

Calculer :

$S=\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+....+\frac{1}{2002\times 2023}$

39

$a,b$ et $c$ des nombres entiers,

Trouver toutes les solutions du système suivant:

$\{\begin{array}{l}ab-a-b=1\\ a^2{b}^2=a^2+b^2\end{array}$

40

Trouver tous les nombres naturels $x,y$ et $z$,

Tel que:   $x<y<z$ et $x+y+z+xy+yz+zx+xyz=2019$.

41

soit x un nombre réal non nul,

Tel que: $x^2-x+1=0$

Calculer:  $x^{1}0+\frac{1}{x^{1}0}$

42

$x,y$ et $z$ des réels positifs.

Tel que $xyz=1$.

Montrer que: $x^3+y^3+z^3\ge 3$.

43

$x,y$ et $z$ des nombres réels,

Tel que:  $3x+4y=3z$ et $4x-3y=4z$,

Montrer que: $x²+y²=z²$

44

$x$ et $y$ deux nombres réels différents,

Tel que: $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}-\frac{1}{x+y}=0$

Calculer: $(\frac{x}{y}{)}^3+(\frac{y}{x}{)}^3$

45

Soit $a$ et $b$ deux nombres réels différents,

Tel que: $a^2+b^2>=1$

Montrer que $a^2+b^2>=a$

46

Résoudre dans $IR$ l'équation suivante:

$\frac{x}{x+1}+\frac{x+1}{x+2}+\frac{x+2}{x+3}=3$

47

$a,b$ et $c$ trois réels non nuls,

Tel que: $bc+\frac{1}{a}$=$ac+\frac{2}{b}$=$ab+\frac{7}{c}$=$\frac{1}{(a+b+c)}$

Calculer $abc$?

48

$x$ nombre réel strictement positif.

Montrer que: $1+x+x^2+...+x^{2}n\ge (2n+1)x^n$

49

$a,b,c$ et $d$ des nombres réels,

Montrer que: $(ac+bd{)}^2\le (a^2+b^2)(c^2+d^2)$

50

$x$ et $y$ deux nombres réels,

Tel que: $x²+y²=x³+y³=2$,

Déterminer les valeurs de $x+y$

Arithmétique:

_______________________________________

01

Trouver le nombre $x$ à quatre chiffres $abcd$.

Tel que: $abcd+abc+ab+a=2019$.

02

Soit $x$ et $y$ deux nombres naturels.

Combien de paire (x,y) satisfaire l'équation: $x^6+3x^3+1=y^4$

03

$a,b$ et $c$ trois nombres naturels non nuls,

Tel que: $a²=b+c$,$b²=c+a$ et $c²=a+b$

Calculer:  $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

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