Notion de Logique: Raisonnement par Récurrence (3 cas)
cas 1 (=): Montrer que ∀n∊IN* ; 1+3+5+....+2n-1 = n²
cas 2 (≥): Montrer que ∀n∊IN; \(2^n ≥ n²\)
cas 1 (=): Montrer que ∀n∊IN* ; 1+3+5+....+2n-1 = n²
cas 2 (≥): Montrer que ∀n∊IN; \(2^n ≥ n²\)
cas 3 (divise): Montrer que ∀n∊IN; 3 divise \(4^n+3^n-1\)
Montrer que pour tout n de IN: \(\sqrt{8n+2014}\) ∉ IN
1
On donne: \(1^3+2^3+.....14^3+15^3=14400\)
Calculer: \(2^3+4^3+6^3.....28^3+30^3\)
2
\(x,y\) et \(z\) trois nombres réels strictement positifs,
Montrer que: \((x+y)(y+z)(z+x) ≥ 8 xyz\)
3
Calculer:
\(\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}}+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\)
4
\(x,y\) et \(z\) trois nombres réels positifs,
Tel que: \(2(z^2-y^2) = 3x^2\),
Trouvez le plus grande de ces trois nombres
5
\(x,\) et \(y\) deux nombres réels, tel que: \(x+y=1\)
Montrez que: \(xy≤\frac{1}{4}\)
6
On donne: \(x= 1^2-2^2+3^2-4^2.....+99^2-100^2\)
Calculer: \(2^3+4^3+6^3.....28^3+30^3\)
2
\(x,y\) et \(z\) trois nombres réels strictement positifs,
Montrer que: \((x+y)(y+z)(z+x) ≥ 8 xyz\)
3
Calculer:
\(\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}}+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\)
4
\(x,y\) et \(z\) trois nombres réels positifs,
Tel que: \(2(z^2-y^2) = 3x^2\),
Trouvez le plus grande de ces trois nombres
5
\(x,\) et \(y\) deux nombres réels, tel que: \(x+y=1\)
Montrez que: \(xy≤\frac{1}{4}\)
6
On donne: \(x= 1^2-2^2+3^2-4^2.....+99^2-100^2\)
et \(y=1+2+3+4.......+99+100\) Montrer que: \(x+y=0\)
7
\(x,y\) et \(z\) trois nombres réels strictement positifs
Montrer que: \(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}≥x+y+z\)
8
\(x,y\) et \(z\) trois nombres réels strictement positifs,
Montrer que: \(\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}≥6\)
16
\(x,y\) et \(z\) trois nombres réels strictement positifs,
Montrer que: \((x+y+z) (\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})≥9\)
9
\(x,y\) et \(z\) trois nombres réels strictement positifs et m ∊ IR,
tel que: \(xyz=1\), Montrer que:
si \(\frac{2mx}{xy+x+1}+\frac{2my}{yz+y+1}+\frac{2mz}{zx+z+1}=1\) alors \(m=\frac{1}{2}\)
10
\(x,y\) et \(z\) trois nombres réels strictement positifs,
Montrer que: \(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}≥x+y+z\)
21
\(x,y\) et \(z\) trois nombres réels non nul,
Tel que: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=0\)
Montrer que: \((x+y+z)² = x²+y²+z²\)
11
Pour quelle valeur de \(a\) l’équation:
\(|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5| = a\)
admet - elle une solution unique ?
12
\(x,y\) deux nombres réels strictement positifs
Montrer que: \(\frac{x}{x^4+y^2}+\frac{y}{y^4+x^2}≤\frac{1}{xy}\)
13
\(x\) et \(y\) deux nombres réels non nul,
Tel que: \(\frac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}=\frac{1}{3}\)
Calculer: \(\frac{x}{y}\)
14
\(x\) et \(y\) deux nombres réels,
Tel que: \(x>1\) et \(y>1\)
Montrer que: \(y\sqrt{x-1}+x\sqrt{y-1}≤xy\)
12
\(x,y et z\) trois nombres réels,
7
\(x,y\) et \(z\) trois nombres réels strictement positifs
Montrer que: \(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}≥x+y+z\)
8
\(x,y\) et \(z\) trois nombres réels strictement positifs,
Montrer que: \(\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}≥6\)
16
\(x,y\) et \(z\) trois nombres réels strictement positifs,
Montrer que: \((x+y+z) (\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})≥9\)
9
\(x,y\) et \(z\) trois nombres réels strictement positifs et m ∊ IR,
tel que: \(xyz=1\), Montrer que:
si \(\frac{2mx}{xy+x+1}+\frac{2my}{yz+y+1}+\frac{2mz}{zx+z+1}=1\) alors \(m=\frac{1}{2}\)
10
\(x,y\) et \(z\) trois nombres réels strictement positifs,
Montrer que: \(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}≥x+y+z\)
21
\(x,y\) et \(z\) trois nombres réels non nul,
Tel que: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=0\)
Montrer que: \((x+y+z)² = x²+y²+z²\)
11
Pour quelle valeur de \(a\) l’équation:
\(|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5| = a\)
admet - elle une solution unique ?
12
\(x,y\) deux nombres réels strictement positifs
Montrer que: \(\frac{x}{x^4+y^2}+\frac{y}{y^4+x^2}≤\frac{1}{xy}\)
13
\(x\) et \(y\) deux nombres réels non nul,
Tel que: \(\frac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}=\frac{1}{3}\)
Calculer: \(\frac{x}{y}\)
14
\(x\) et \(y\) deux nombres réels,
Tel que: \(x>1\) et \(y>1\)
Montrer que: \(y\sqrt{x-1}+x\sqrt{y-1}≤xy\)
12
\(x,y et z\) trois nombres réels,
Tel que: \(x+y+z≠0\) et
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}=0\)
Montrer que: \(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=1\)
15
\(x,y\) et \(z\) trois nombres réels non nul,
Tel que: \((x+y+z)² = x²+y²+z²\),
Montrer que: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)
17
\(x,y\) et \(z\) trois nombres réels strictement positifs,
Montrer que: \(\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{2z}≥\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+xy}\)
18
\(x,y\) deux nombres réels strictement positifs,
Montrez que: \(\frac{x}{y^2}+\frac{y}{x^2}≤\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)
20
\(x\) nombre réel strictement positif,
Tel que: \(x^2+\frac{1}{x^2}=7\),
Calculer: \(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\)
_______________________________________
22
\(x,\) et \(y\) deux nombres réels,
Tel que: \((x+\sqrt{x^2-1})(y+\sqrt{y^2-1})=1\)
Montrez que: \(x+y=0\)
19
23
\(x\) un nombre réal,
Tel que: \(x>1\) et \(x=\frac{\sqrt{2}x^2+\sqrt{2}}{20}\)
Montrez que: \(14x+1=x^2\)
25
Soient \(x\) et \(y\) deux nombres réels différents strictement positifs,
Tel que: \(x+2y=3\sqrt{xy}\)
Calculer: \(\frac{x}{y}\)
26
\(x\) et \(y\) deux nombres réels différents,
Tel que: \(x^2=y+2019\) et \(y^2=x+2019\)
Calculer: \(xy\)
27
Soient \(x,y\) et \(z\) des nombres réels strictement positifs,
Montrer que:
\(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}≥\frac{3}{2}\)
28
\(x,y,z\) et \(t\) des nombres réels strictement positifs,
Montrer que: \((x+y+z+t) (\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t})≥16\)
29
30
31
33
15
\(x,y\) et \(z\) trois nombres réels non nul,
Tel que: \((x+y+z)² = x²+y²+z²\),
Montrer que: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)
17
\(x,y\) et \(z\) trois nombres réels strictement positifs,
Montrer que: \(\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{2z}≥\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+xy}\)
18
\(x,y\) deux nombres réels strictement positifs,
Montrez que: \(\frac{x}{y^2}+\frac{y}{x^2}≤\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)
20
\(x\) nombre réel strictement positif,
Tel que: \(x^2+\frac{1}{x^2}=7\),
Calculer: \(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\)
_______________________________________
22
\(x,\) et \(y\) deux nombres réels,
Tel que: \((x+\sqrt{x^2-1})(y+\sqrt{y^2-1})=1\)
Montrez que: \(x+y=0\)
19
Soient \(x,y\) et \(z\) des nombres strictement positifs,
Tel que: \(x≥y≥z\),
Montrer que:
\(\frac{x^2-y^2}{z}+\frac{z^2-y^2}{x}+\frac{x^2-z^2}{y}≥3x-4y+z\)
Montrer que:
\(\frac{x^2-y^2}{z}+\frac{z^2-y^2}{x}+\frac{x^2-z^2}{y}≥3x-4y+z\)
23
\(x\) un nombre réal,
Tel que: \(x>1\) et \(x=\frac{\sqrt{2}x^2+\sqrt{2}}{20}\)
Montrez que: \(14x+1=x^2\)
25
Soient \(x\) et \(y\) deux nombres réels différents strictement positifs,
Tel que: \(x+2y=3\sqrt{xy}\)
Calculer: \(\frac{x}{y}\)
26
\(x\) et \(y\) deux nombres réels différents,
Tel que: \(x^2=y+2019\) et \(y^2=x+2019\)
Calculer: \(xy\)
27
Soient \(x,y\) et \(z\) des nombres réels strictement positifs,
Montrer que:
\(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}≥\frac{3}{2}\)
28
\(x,y,z\) et \(t\) des nombres réels strictement positifs,
Montrer que: \((x+y+z+t) (\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t})≥16\)
29
\(x,y\) deux nombres réels tel que: \(x >1\) et \(y>1\)
Montrer que: \(y\sqrt{x-1}+x\sqrt{y-1}≤xy\)
30
\(x,y,z\) et \(t\) trois nombres réels strictement positifs,
Montrer que: \((x+y+z+t) (\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t})≥16\)
Montrer que: \((x+y+z+t) (\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t})≥16\)
31
Soient \(a,b\) et \(c\) des nombres réels,
Montrer que: \((a+b+c)^2≤3(a^2+b^2+c^2)\)
Montrer que: \((a+b+c)^2≤3(a^2+b^2+c^2)\)
32
Soient \(x,y\) et \(z\) des nombres réels strictement positifs,
Montrer que: \(\sqrt{6x+1}+\sqrt{6y+1}+\sqrt{6z+1}≤3\sqrt{3}\)
Soient \(x,y\) et \(z\) des nombres réels strictement positifs,
Montrer que: \(\sqrt{6x+1}+\sqrt{6y+1}+\sqrt{6z+1}≤3\sqrt{3}\)
33
\(x\) et \(y\) deux nombres positifs,
Tel que: \(\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}=1\)
Montrer que: \(\frac{x}{y^2+1}-\frac{y}{x^2+1}=x-y\)
34
\(x,y\) et \(z\) trois nombres réels,
Tel que: \(\left\{\begin{array}{l}x^3=2y-1 \\ y^3=2z-1 \\ z^3=2x-1 \end{array}\right.\)
Montrer que: \(x=y=z\)
35
\(a,b\) et \(c\) des nombres réels non nuls,
Tel que: \(\left\{\begin{array}{l}a+b=2ab \\ b+c=3bc \\ c+a=7ac \end{array}\right.\)
Déterminer \(a,b\) et \(c\)
36
Résoudre dans \(IR^2\) le système suivant:
\(\left\{\begin{array}{l}x^3+y^3=9 \\ x^2-xy+y^2=3 \end{array}\right.\)
37
Calculer les sommes Suivantes:
\(S_1=1+2+3+....+2023\)
\(S_2=3^1+3^2+3^3+....+3^2023\)
38
Calculer :
\(S=\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+....+\frac{1}{2002\times2023}\)
39
\(a,b\) et \(c\) des nombres entiers,
Trouver toutes les solutions du système suivant:
\(\left\{\begin{array}{l}ab-a-b=1 \\ a^2b^2=a^2+b^2 \end{array}\right.\)
40
Trouver tous les nombres naturels \(x,y\) et \(z\),
Tel que: \(x<y<z\) et \(x+y+z+xy+yz+zx+xyz=2019\).
41
soit x un nombre réal non nul,
Tel que: \(x^2-x+1=0\)
Calculer: \(x^10+\frac{1}{x^10}\)
42
\(x,y\) et \(z\) des réels positifs.
Tel que \(xyz=1\).
Montrer que: \(x^3+ y^3+ z^3≥ 3\).
43
\(x,y\) et \(z\) des nombres réels,
Tel que: \(3x+4y=3z\) et \(4x-3y=4z\),
Montrer que: \(x²+y²=z²\)
44
\(x\) et \(y\) deux nombres réels différents,
Tel que: \(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}-\frac{1}{x+y}=0\)
Calculer: \((\frac{x}{y})^3+(\frac{y}{x})^3\)
45
Soit \(a\) et \(b\) deux nombres réels différents,
Tel que: \(a^2+b^2>=1\)
Montrer que \(a^2+b^2>=a\)
46
Résoudre dans \(IR\) l'équation suivante:
\(\frac{x}{x+1}+\frac{x+1}{x+2}+\frac{x+2}{x+3}=3\)
47
\(a,b\) et \(c\) trois réels non nuls,
Tel que: \(bc+\frac{1}{a}\)=\(ac+\frac{2}{b}\)=\(ab+\frac{7}{c}\)=\(\frac{1}{(a+b+c)}\)
Calculer \(abc\)?
48
\(x\) nombre réel strictement positif.
Montrer que: \(1+x+x^2+...+x^2n ≥ (2n+1)x^n\)
49
\(a,b,c\) et \(d\) des nombres réels,
Montrer que: \((ac+bd)^2 ≤(a^2+b^2)(c^2+d^2)\)
50
\(x\) et \(y\) deux nombres réels,
Tel que: \(x²+y²=x³+y³=2\),
Déterminer les valeurs de \(x+y\)
Arithmétique:
_______________________________________
01
Trouver le nombre \(x\) à quatre chiffres \(abcd\).
Tel que: \(abcd+abc+ab+a=2019\).
02
Soit \(x\) et \(y\) deux nombres naturels.
Combien de paire (x,y) satisfaire l'équation: \(x^6+3x^3+1=y^4\)
03
\(a,b\) et \(c\) trois nombres naturels non nuls,
Tel que: \(a²=b+c\),\(b²=c+a\) et \(c²=a+b\)
Calculer: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
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