Olympiade Math - Géométrie 02 - Ex 14

Soit la figure suivante:

SBCE=15cm
SAED=7cm
BÂC=45°
Calculer DC=x?

Voir Solution

H projecton de C sur [EB]
G projecton de C sur [AD]

On pose:
SHCE=S
SBCH=15-S
d'autre part:
les deux triangles ACG & BCH

sont semblables.
car:
* Traingle ABC rectangle en C.
➝ BÂC=AB̂C=45°
➝ AC=BC ①
* Deux angles inscrits dans un cercle interceptant le même arc de cercle ont la même mesure.

➝CB̂H=EÂD ②

* BĤC=AĜC=90°③
alors: 
SACG=SBCE=15-S
➝ SDECG=SACG-SADE=15-S-7
➝ SDECG=8-S
d'autre part:
GCHD est un carré
car GC=CH
➝ SGCHD=SDECG+SEHC=8-S+S
➝ SGCHD=8
➝ CG²=8
 Or on a:
dans le triangle DCG
DG=CG
CG²+DG²=X²
➝ CG²=X²/2
➝ 8=X²/2
Donc
 X=4cm.

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