Les Ensembles en ④ étapes 

 1- Concept d'ensemble:

Un ensemble E est une collection d'objets satisfaisant un certain nombre de propriétés et chacun de ces objets est appelé élément de cet ensemble.
Si x est l'un des éléments de E on dit que : x appartient à E et on note x∊E.
Si x n'appartient pas à E on note x∉E .

Heureusement, vous connaissez déjà quelques ensembles :
- l’ensemble des entiers naturels N = {0,1,2,3,...}.
- l’ensemble des entiers relatifs Z = {...,-2,-1,0,1,2,...}.
- l’ensemble des rationnels Q = {p/q | p ∈ Z, q ∈ IN* }
- l’ensemble des réels IR, par exemple: π,....

• Dans le cas général, on note un ensemble par une des lettres Majuscule: A, B, C, E, F, ...
Exemple: L'ensemble A dont les éléments sont 1, 2 et 3 est noté A = {1;2;3}.

• Ensemble vide Ø : 
Un ensemble qui ne contient aucun élément.
est appelé l'ensemble vide. Il est aussi noté { }.


• un singleton:Un ensemble qui contient un et un seul élément.
Exemple: A={1 }.


• une paire: Un ensemble qui contient deux éléments distincts.
Exemple: A={1,2}.
ne pas confondre le paire {a,b}={b,a}avec le couple (a,b)≠(b,a)

Il y a trois manières de définir un ensemble E :
1- Diagramme de Venn une courbe fermée qui entoure certains éléments d'un ensemble ; il sert à schématiser cet ensemble.
Exemple: E = {1;2;3;4}.




2- En extension :Un ensemble E est défini en extension lorsqu'on donne la liste de ses éléments.
A= {2;10}.

3- En compréhension: Un ensemble E est défini en compréhension lorsque ses éléments vérifient certaines propriétés.
A= { n∊IN / n<9}.
Exemples
* D12 Ensemble des diviseurs positifs du nombre 12 :
Écriture en extension : D12= {1;2;3;4;6;12}.
Écriture en compréhension : D12 = {n∊IN / n divise 12}.

* Δ La médiatrice du segments [AB] (A et B deux points distincts du plan P).
Écriture en compréhension :Δ ={M∊P / AM=BM}.
1- A l'ensemble des entiers naturels premiers et inférieurs à 15.
A= {2;3;5;7;11;13}.
2- B l'ensemble des multiples positifs de 5.
B= {5n / n∊IN}.

3- C l'ensemble des entiers naturels pairs.
C= {2p / n∊IN}.
4- D l'ensemble des entiers naturels impairs.
D= {2k +1 / k∊IN}.

5- E l'ensemble des entiers relatifs dont le carré est inférieur ou égale à 11.
Écriture en extension : E={-3;-2;-1;0;1;2;3}.
Écriture en compréhension : E= {n ∊Z /n²≤ 11}.

Exercice: Déterminer, en extension, les ensembles suivants:
F={n∊Z / -2<n<2}. G={x∊IR / x²+x+1=0}. H={n∊IN / |n-1|≤2}.

Solution:
On a : n∊F équivaut successivement à :
n∊Z et -2<n<2
Donc : n=-1 ou n=0 ou n=1.
Conclusion : F= {-1;0;1}.
On a : x∊G équivaut successivement à :
x²+x+1=0 (Δ=-3<0)
Conclusion : G= {}.
On a : n∊H équivaut successivement à :
n∊IN et |n-1|≤2
Donc :n∊IN et -1≤n≤3
Conclusion : H= {0;1;2;3}.

Exercice: 
Déterminer, en compréhension, les ensembles suivants:
K= {2;4;6;8;10}. L= {1;3;9; 27;81...}. M= {...;-8;-3;2;7;12,...}

Solution:
K= {2n / n≤10 et n∊IN}.
L= {3n / n∊IN}.
M= {2+5n / n∊Z}.

2- Relation entre les Ensemble:

* Egalité *

 
Soit E et F deux ensembles. 
On dit que E et F sont égaux lorsqu'ils ont les mêmes éléments et on écrit E = F.
Pratiquement, pour montrer l'égalité E=F, il suffit de montrer que x∊E⇔x∊F.
* E et F dits différents dans le cas contraire

Exemples
* A={1;2;3}; B={3;2;1}; C={1;2;3;4} A=B et A≠C

*On considère les deux ensembles :
E={x∊IR / |x-1|<2} et F=]-1,3[
on a: x∊E⇔|x-1|<2⇔-2<x-1<2⇔-1<x<3⇔x∊F
Par conséquent: E = F.

Exercice:
1)- On considère les deux ensembles suivants :
A={x=π/3+kπ/2 / k∊Z} et B={x=5π/6+kπ/2 / k∊Z}
Montrons que A = B :

Soit x∊A; il existe donc k de Z tel que x=π/3+kπ/2
Il en résulte donc: x=(π/3+π/2)-π/2+k*π/2=5π/6+(k-1)*π/2
et comme (k-1)∊Z alors x∊B.
• Réciproquement,
si x∊B alors il existe k de Z tel que x=5π/6+kπ/2
Il en résulte donc: x=(5π/6-π/2)+π/2+k*π/2=π/3+(k+1)*π/2
et comme (k+1)∊Z alors x∊A.
en déduire: A=B.
2)- On considère l'ensemble : A= {x∊IR / -1/2≤x/(1+x²)≤1/2} 
Montrer que A= R.
si x∊A alors x∊IR d'où A⊂IR
• Réciproquement, si x∊IR:
|x|/(1+x²) -1/2=-(1+x²-2|x|)/(1+x²)=-(1-|x|)²/(1+x²)≤0
Il en résulte donc: -1/2≤ x/(1+x²) ≤1/2
en déduire: A=B.

* Inclusion *


• Soit A et B deux parties d'un ensemble E.
On dit que A est incluse dans B si chaque élément de A est un élément de B.
On note A⊂B.
On dit aussi que la partie A est contenue dans B ou que A est un sous-ensemble de B.
A⊂B ⇔ A= { (∀x∊IR);x∊A⇒x∊B}
On a toujours: Ø⊂A et A⊂A. 

• Soit A et B deux parties d'un ensemble E.
On dit que A n'est pas incluse dans B
signifie qu'il existe au moins un élément x de A tel que x∉B.
On note A⊈B.

Exemples: 
* IN ⊂Z⊂IR.
* On considère l'ensemble : A={-1;0;3;7} . Ona: {0}⊂A / {0;3}⊂A / {-1;3;7}⊂A.
* ]-2;5]⊂R ; ]2;+∞[⊂R ; ID⊂R ; {3;5;9} ⊂N.

Proposition
Soit A, B et C trois parties d'un ensemble E.
• Si A⊂B et B⊂C alors A⊂C.
• A = B si, et seulement si : A⊂B et B⊂A.


* Complémentaire *


Soit A une partie d'un ensemble E.
L'ensemble des éléments de E n'appartenant pas à l'ensemble A est appelé le complémentaire de A dans E.
On le note Ā ou
 
Ā={x∊E / x∉A }
x∊Ā ⇔ x∉A

Exemples
le complémentaire de IR+ dans IR est IR-.
le complémentaire de IN dans Z est Z-.

Exercice: 
On considère l'ensemble suivant : A={x∊R/ x²+x<5}.
Montrer que : [2;+∞[⊂Ā.
Soit x∊ [2;+∞[
x≥2⇒x²+x≥6>5⇒x∉A⇒x∊Ā.
Il en résulte donc: [2;+∞[⊂Ā.
Proposition 
Soit A et B deux parties d'un ensemble E.
Alors :






* Unio *




* Intersection *


3- Ensembles particuliers: ...

4- Opération sur les Ensembles: ...