Olympiade Math - Algèbre 01 - Ex 37

Olympiade de Mathématique 

( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)

Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.

Olympiade de Math - Algèbre Niveaux 01 - Exercice 35

Calcule les sommes Suivantes:

S₁= 1+2+3.....+2019
 
S₂=3¹+3²+3³.....+3²⁰¹⁹ 
 

Solution

1) on a
S₁= 1+2+.....2018+2019 ①
S₁= 2019+2018.....+2+1②
①+②
➝ 2S₁= (1+2019)+(2+2018)....+(2019+1)
2S₁=2020+2020.....+2020 (2019 termes)
2S₁=2020x2019

⏵ S₁= (2020x2019) / 2

Suite arithmétique

2) on a
S₂=3¹+3²+3³.....+3²⁰¹⁹ ①
3S₂=3²+3³.....+2²⁰¹⁹+3²⁰²⁰ ②
②-①
3S₂-S₂=(3²+3³.....3²⁰²⁰)-(3¹+3².....+3²⁰¹⁹)
2S₂=3²⁰²⁰-3

⏵ S₂= (3²⁰²⁰-3) / 2

Suite géométrique

3) on a

n=1 ➝ 1/(2*3) = 1/2 - 1/3

n=2 ➝ 1/(3*4) = 1/3 - 1/4

.....

n    ➝ 1/(n*(n+1)) = 1/n - 1/n+1

Somme des n termes:

➝ S₃=1/2 - 1/n+1 

⏵ S₃= (n-1) / (2n+2)

Liens utiles : 

L’Olympiade Internationale de Mathématiques (OIM)
site officiel de l’OIM, fondation de l’OIM

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