Olympiade Math - Algèbre 02 - Ex 36

Soient x et y deux nombres réels strictement positifs
tels que: x+y+xy=3.
Montrer que: x+y≥2.
pour quels valeurs de x et y on a l’égalité: x+y=2?

Solution 

On a:
(x-y)²≥0
⇒x²+y²≥2xy
⇒(x+y)²≥4xy
d’autre part:
x+y+xy=3⇒xy=3-x-y.
d'où
(x+y)²≥4(3-x-y)
⇒(x+y)²+4(x+y)≥12
⇒(x+y)²+4(x+y)+4≥16
⇒(x+y+2)²≥16
or ona x>0 et y>0
alors x+y+2≥4
donc: x+y≥2
Si on a l’égalité: x+y= 2
x+y+xy=3⇒2+xy=3⇒xy=1
⇒x(2-x)=1⇒x²-2x+1=0⇒(x-1)²=1⇒x=1
donc x=y=1.

réciproquement
si x=y=1⇒x+y=2 et x+y+xy=3.

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