Baccalauréat Section Informatique Session Principal juillet 2020 Épreuve math PDF

Baccalauréat Section Informatique Session Principal juillet 2020 Épreuve math PDF

Duré de  l’épreuve: 3 heures

Exercice 1: (5 points )

Exercice 2: (4.5 points )

Exercice 3: (6 points )

Exercice 4: (4.5 points )

* Exercice 1: (5 points ) *

On considère dans ℂ l'équation (E):

$z^2-(3+3i\sqrt{3})z-6+3i\sqrt{3}=0$

1) a) Vérifier que $i\sqrt{3}$ est une solution de l'équation (E).

b) En déduire l'autre solution de l'équation (E).

2) Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé 

$(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$. 

On considère les points A, B et C d'affixes respectives:

$z_A=i\sqrt{3}$,  $z_B=3+2i\sqrt{3}$ et $z_c=3-2i\sqrt{3}$

a) Calculer $(z_B-z_A)(\overline{z_c-z_A})$

b) En déduire que le triangle ABC est rectangle en A.

3) Dans la figure de l'annexe ci-jointe, on a placé le point A.

a) Soit D le point d'affixe $z_0=-3$ .

Montrer que le point A est le milieu du segment [DB]

b) Placer les points D,B\et C.

c) Montrer que l'aire du triangle DCB est égale à $12\sqrt{3}$.

* Exercice 2: (4.5 points ) *

Une enquête effectuée dans les laboratoires d'informatique d'un lycée

équipés d'un lot d'ordinateurs de deux types D et L, achetés 5 ans plus tôt, montre que:

- 50 % d'ordinateurs sont de type D.

- 59 % d'ordinateurs de type $D$ ont subi au moins une panne durant les 5 ans.

- 30 % d'ordinateurs de type L n'ont subi aucune panne durant les 5 ans.

On choisit au hasard un ordinateur de ce lot et on considère les événements suivants:

A : "L'ordinateur choisi est de type D".

B : "L'ordinateur choisi est de type L",

C : "L'ordinateur choisi a subi au moins une panne durant les 5 ans y".

1) Déterminer $p(C/A)$ et $p(\bar{C}/B)$

2) Recopier et compléter l'arbre probabiliste ci-contre :

Dans la suite de l'exercice, on donnera les résultats arrondis à ${10}^{-2}$ près.

3) a) Montrer que la probabilité qu'un ordinateur n'a subi aucune panne durant les 5 ans

est 0,36

b) Déduire alors la probabilité que l'ordinateur choisi soit de type D sachant qu'il n'a

subi aucune panne durant les 5 ans.

4) La durée de vie, exprimée en années, d'un ordinateur de type D 

(la duree de fonctionnement avant la première panne) est une variable 

aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda =0,18$.

a) Montrer que:

la probabilité qu'un ordinateur de type $D$ ne subit aucune panne avant

6 ans est 0,34

b) On veut équiper un nouveau laboratoire d'informatique d'un lot de 10 ordinateurs de type D. 

Quelle est la probabilité p que, dans ce lot, l'un au moins des ordinateurs ait une

durée de vie supérieure à 6 ans?

* Exercice 3: (6 points ) *

1) Soit g la fonction définie sur IR par:

$g(x)=1-(2x+1)e^{-2x}$

a) Montrer que:

 pour tout $x\text{inIR},g^{\prime }(x)=4x{e}^{-2x}$.

b) Etudier le sens de variation de $g$ 

et déduire que pour tout $x\in \mathbb{R},g(x)\ge 0$

2) Soit fla fonction définie surIR par:

 $f(x)=x+1+(x+1)e^{-2x}$ 

et $(C)$ sa courbe représentative

dans un repère orthonormé$(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$. 

a) Calculer $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)$ et montrer que $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{x}=+\mathrm{\infty }.$ Interpréter graphiquement le résultat.

b) Montrer que $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$ et que la droite $D:y=x+1$ est une asymptote à la courbe

(C) au voisinage de $(+\mathrm{\infty })$

c) Etudier la position relative de la courbe (C) par rapport à la droite D.

3) Montrer que pour tout $x\in \mathbb{R},f^{\prime }(x)=g(x)$ et dresser le tableau de variation de $f$

4) a) Montrer que $A(0,2)$ est un point d'inflexion pour la courbe (C).

b) Déterminer une équation de la tangente T à la courbe (C) au point A.

c) Tracer $\mathrm{D},\mathrm{T}$ et $(\mathrm{C})$

5) Soit $\alpha$ un réel strictement supérieur à (-1) .

On désigne par $A_{\alpha }$ l'aire, en unité d'aire, de la partie du plan limitée par la courbe $(\mathrm{C}),$ la

droite $D$ et les droites d'équations $x=-1$ et $x=\alpha$

a) Par une intégration par parties, montrer que $A_{\alpha }=\frac{1}{4}{\mathrm{e}}^2-(\frac{1}{2}\alpha +\frac{3}{4}){\mathrm{e}}^{-2\alpha }$

b) Calculer $\underset{\alpha \to +\mathrm{\infty }}{lim}{\mathrm{A}}_{\alpha }$

* Exercice 1: (4.5 points ) *

On considère dans l'ensemble des entiers relatifs le système ( $\mathrm{S}$ ) : $\{\begin{array}{l}\mathrm{n}\equiv 1[4]\\ \mathrm{n}=3[5]\end{array}$

1) Vérifier que 13 est une solution de ( $S$ ).

2) a) Montrer que si n est une solution de ( $S$ ) alors $(n-13)$ est divisible par 4 et par 5 .

b) Montrer que:

si un entier p est divisible par 4 et par 5 alors p est divisible par 20 .

c) En déduire que:

si n est une solution de $(\mathrm{S})$ alors $\mathrm{n}-13\equiv \mathrm{O}[20]$

3) a) Vérifier que pour tous entiers relatifs n et $k$ on a :

$n-13=20k$ si et seulement si $n-1=4(3+5k)$

b) Montrer que si $n-13\equiv 0[20]$ alors $n$ est une solution du système $(S)$.

c) En déduire l'ensemble des solutions du système ( $S$ ).

4) Un puzzle contient N pièces, si on les range par 4 il en reste une seule pièce et si on les

range par 5 il en reste 3 pièces.

Déterminer N sachant qu'il est compris entre 40 et 60 .

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Baccalauréat Section Info 2020 Pr

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