Dérivabilité: Interprétation géométrique

Dérivabilité:

 ⇲  Interprétation géométrique du nombre dérivé à gauche et du nombre dérivé à droite:
     
* Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et dérivable à gauche en x₀ de I.
Le nombre f’g(x₀) représente la pente de la demi-tangente à gauche à la courbe
représentative de f en son point M0(x₀, f(x₀)).
Une équation cartésienne de cette
demi tangente est donnée par :
y=f'g(x₀).(x-x₀)+f(x)
x≤ x₀

* Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et dérivable à droite en x₀ de I.

Le nombre f’d(x₀) représente la pente de la demi-tangente à droite à la courbe

représentative de f en son point M₀(x₀, f(x₀)).Une équation cartésienne de cette

demi tangente est donnée par :

y=f'd(x₀).(x-x₀)+f(x)
x≥x₀.
Lorsque f’g(x0)キf’d (x₀) la courbe de f admet deux demi-
tangentes de directions différentes en M₀(x₀, f(x₀)).
On dit alors, que le point M₀ est un point anguleux pour
la courbe de f.

Théorème

Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I de et x₀ un réel de I. 

La fonction f est dérivable en x₀ si et seulement si f est à la fois dérivable à droite et à gauche en x₀ et f'g(x₀) = f’d(x₀).

Activité 4
Soit la fonction

pour x∈[2,+∞[.

1) Etudier la dérivabilité de f à droite en 2.
2) Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
3) Tracer la courbe (cf) de f dans un repère R.
Commentaire:
pour:

pour x∈[2,+∞[.

on a:

on dit alors que la courbe représentative de f possède une demi-tangente verticale au point M₀(2,f(2)).
Plus généralement : 
si f est une fonction définie sur D et vérifiant pour x₀ de D,

alors f n’est pas dérivable en x0 et sa courbe représentative possède une demi- tangente verticale au point M0(x0, f(x0)).