Olympiade Math - Arithmétique 02 - Ex 04

Olympiade de Mathématique

( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.

  

Trouver l'entier naturel n.

Tels que "n² + 8n + 44" soit un carré parfait.

Solution

* on pose
f(n)=n² + 8n + 44
Raisonnement par l'absurde ↴
on suppose que: f(n)=k²
➝ ona f(n)=(n+4)²+28
➝ k² > (n+4)² ①
* f(n)-(n+6)²=n² + 8n + 44-n²-12n-36
f(n)-(n+5)²=8-2n
* pour n>4
k² < (n+6)² ②
donc ∀n>4
①&②
➝ (n+4)² < k² < (n+6)²
➝ k=n+5
➝ f(n)=n² + 8n + 44=(n+5)²
➝ n² + 8n + 44=n²+10n+25
➝ 2n=19 ce qui est impossible.
▶️ ∀n>4 f(n) n’est pas un carré. 

il nous reste de tester les valeur 1,2,3,4.
n=1 ➝ f(1)=53.
n=2 ➝ f(2)=64=8²
n=3 ➝ f(3)=85.
n=4 ➝ f(4)=92.
▶️ la seule solution qui existe si n=2.

Liens utiles :

L’Olympiade Internationale de Mathématiques (OIM)
site officiel de l’OIM, fondation de l’OIM

Olympiade de Maths, c'est une gymnastique de l'esprit, Ce qu'il faut c'est 4math.net et beaucoup de pratiques

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