Fonctions Primitives: Fonctions primitives d'une fonction continue

Fonctions Primitives

 ⇲  Fonctions primitives d'une fonction continue

Activité 1
Soit un mobile M qui se déplace en mouvement rectiligne avec une vitesse instantanée
v(t) = 2t - 3.
1) En supposant qu'à l'instant t = 0 (en seconde) x(0)=0,
donner l'équation horaire x(t) de ce mobile.
2) Sachant que la vitesse moyenne d'un mobile,
se déplaçant en mouvement rectiligne, entre deux instants distincts t1 et t2 est donnée par la formule

a) Calculer la vitesse moyenne du mobile M entre les instants 3s et 5s. 

b) Calculer la vitesse moyenne du mobile M entre les instants 2s et 3s.
c) Montrer que:

Activité 2

Soient f et F deux fonctions définies sur R par
f(x)=3x²+2x+1 et F(x)=x³+x²+x+5
1) Montrer que F est dérivable sur et pour tout réel x, F'(x) = f(x).
2) Donner deux autres fonctions G et H dérivables sur et telles que :

∀x∊IR, G'(x)=H'(x)=f(x)

 ⇲  Définition 

Soient f et F deux fonctions définies sur un intervalle I.
F est une primitive de f sur I si et seulement si F est dérivable sur I 
et ∀x∊I, F'(x) = f(x).

Activité 3 

Donner une primitive F de f sur l'intervalle I, dans chacun des cas suivants:
a) f: x➝ 4x³; I=IR
b)f: x➝ 1/x²; I=]0,+∞[

Activité 4
Soit la fonction f:x↦-2sin(2x)
1) Vérifier que f est continue sur l'intervalle R .
2) Donner la forme générale d'une primitive de f sur R .
3) Déterminer la fonction primitive F de f sur R qui prend la valeur 1 en 0.
4) Déterminer la fonction primitive G de f sur R qui prend la valeur 0 en π/2.

 ⇲  Théorème 1

Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.

 ⇲  Théorème 2

Si une fonction f admet une fonction primitive F sur un intervalle I 
alors f admet une infinité de fonctions primitives sur I 
et qui sont toutes de la forme F + c où c désigne une constante réelle arbitraire. 
C'est-à-dire l'ensemble des primitives de f sur l'intervalle I est { F+c; c∈ R }

Activité 5
Soit f une fonction continue sur un intervalle I. 

Soit x₀ un réel de I et soit y₀ un réel. 

Montrer que f possède une unique fonction primitive sur I qui prend la valeur y₀ en x₀.

 ⇲  Théorème 3
Etant donnés un intervalle I, un réel a de I et un réel b.
Toute fonction f continue sur I admet une unique fonction primitive F sur I 

telle que: F(a)=b. 

Activité 6
Soit f la fonction définie sur R par f(x)=2x.
a) Tracer la courbe représentative (D) de f dans un repère orthonormé du plan.
Pour tout réel positif x, soit A le point de (D) d'abscisse x et soit B le point du 

plan de coordonnées (x, 0). 

Calculer, en fonction de x, l'aire S(x) du triangle OAB.
c) Calculer S'(x) ; comparer avec f(x). 

(S' désigne la fonction dérivée de la fonction S). 

d) Donner la fonction primitive F de f sur R telle que F(1)=-2.