Olympiade Math - Combinatoire - Ex 01

Olympiade de Mathématiques

( compétition de mathématiques destinée aux élèves des lycées et collèges)

Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.

▶️ Olympiade Math - Combinatoire - Exercice 01

On donne 2019 nombres quelconques,

(positifs ou négatifs). 

Tels que la somme de 100 quelconques d’entre eux soit positive. 

Montrer que :

la somme de ces  2019 nombres est positive.

Solution

On ordonne ces nombres croissante on trouve
➝ X1≤X2≤...≤X2019
* On a
X1≤X101
X2≤X101
......
X100≤X101
➝ X1+X2+..+X100≤100 x X101
* on a la somme de 100 nombres est positive.
X1+X2+..+X100 ≥ 0 ①
➝ X101 ≥ 0
d'ou 0≤X101≤X102≤...≤X2019 ②

①&②: la somme de ces  2019 nombres est positive.

Liens utiles : 

L’Olympiade Internationale de Mathématiques (OIM)
site officiel de l’OIM, fondation de l’OIM

Olympiade de Maths, c'est une gymnastique de l'esprit, Ce qu'il faut c'est 4math.net et beaucoup de pratiques

4math.net Le première clé pour être bon en maths