Olympiade Math - Algèbre 01 - Ex 61

Calculer S

S=101x10001x...x10...01

Chaque terme de S contient nombre impaire de "0" et S contient 127 terme.

Voir Solution

On a:
S=101x10001x...x10...01
Terme 1: 101=10²+1
Terme 2: 10001=10⁴+1
.
.
Terme 127: 10...01=10¹²⁸+1
d'où:
S=(10²+1)(10⁴+1)...(10¹²⁸+1)
On va calculer
(10²-1)xS=(10²-1)(10²+1)(10⁴+1)...(10¹²⁸+1)
on a: 
(10²-1)(10²+1)=10⁴-1
➝ (10²-1)xS=(10⁴-1)(10⁴+1)...(10¹²⁸+1)
on a: 
(10⁴-1)(10⁴+1)=10⁸-1
➝ (10²-1)xS=(10⁸+1)...(10¹²⁸+1)
.
.
(10²-1)xS=(10¹²⁸-1)(10¹²⁸+1)
(10²-1)xS=(10²⁵⁶-1)
99xS=99...99 ( terme contient 256 de "9")
S=0101...01( 256 terme=128 "1")

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