Olympiade de Mathématique
( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.
Olympiade de Math - Algèbre Niveaux 01 - Exercice 40
soit x un nombre réal non nul, tel que: x²-x+1=0
Calculer x¹º + 1/x¹º ?
Solution
* ona x²-x+1=0
➝ x²+1=x
➝ x+1/x=1 (x≠0) ①
①²➝ (x+1/x)²=1
➝ x²+2+1/x²=1
➝ x²+1/x²=-1 ②
②²➝ (x²+1/x²)² =1
➝ x⁴+2+1/x⁴=1
➝ x⁴+1/x⁴=-1 ③
③x ②⤵️
(x⁴+1/x⁴)(x²+1/x²)=(-1)x(-1)
➝ x⁶+x²+1/x²+1/x⁶=1
➝ x⁶-1+1/x⁶=1
➝ x⁶+1/x⁶=2 ④
④x③⤵️
(x⁶+1/x⁶)(x⁴+1/x⁴)=(2)x(-1)
➝ x¹º+x²+1/x²+1/x¹º=-2
➝ x¹º-1+1/x¹º=(2)x(-1)
➡️x¹º+1/x¹º=-1
Liens utiles :
Olympiade de Maths, c'est une gymnastique de l'esprit, Ce qu'il faut c'est 4math.net et beaucoup de pratiques
4math.net Le première clé pour être bon en maths
* ona x²-x+1=0
➝ x²+1=x
➝ x+1/x=1 (x≠0) ①
①²➝ (x+1/x)²=1
➝ x²+2+1/x²=1
➝ x²+1/x²=-1 ②
②²➝ (x²+1/x²)² =1
➝ x⁴+2+1/x⁴=1
➝ x⁴+1/x⁴=-1 ③
③x ②⤵️
(x⁴+1/x⁴)(x²+1/x²)=(-1)x(-1)
➝ x⁶+x²+1/x²+1/x⁶=1
➝ x⁶-1+1/x⁶=1
➝ x⁶+1/x⁶=2 ④
④x③⤵️
(x⁶+1/x⁶)(x⁴+1/x⁴)=(2)x(-1)
➝ x¹º+x²+1/x²+1/x¹º=-2
➝ x¹º-1+1/x¹º=(2)x(-1)
➡️x¹º+1/x¹º=-1
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