bac 3

Thème: Analyse :
Partie A:
On considère la fonction $f$ définie sur $[0,+\infty [$ par :
si $x>0$: $f(x)=(1+\frac{1}{x})e^{-\frac{1}{x}}$
f(0)=0
Soit la courbe de $f$ dans un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$
(unité graphique : $2cm$ )
1) Montrer que:
$f$ est continue et dérivable à droite en $0.$
2- a) Calculer $\underset{x➝+\infty }{lim}f(x)$
puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
b) Dresser le tableau de variation de $f$.
3-a) Montrer que:
$C$ admet un point d'inflexion que l'on précisera.
b) Construire $C;$
en prend $:f(1)\approx 0.7$ et $4e^{-3}\approx 0.2$

Partie B :
On considère la fonction $F$ définie sur $[0,+\infty [$ par:
$F(x)={\int }_x^{1}f(t)dt$
1-1) Montrer que:
$F$ est continue sur $0,+\infty [$
2-a) A l'aide d'une intégration par parties, montrer que ∀x>0:
${\int }_x^1(e^{-\frac{1}{t}})dt=e^{-1}-x\cdot e^{-\frac{1}{x}}-{\int }_x^1(\frac{1}{t}{e}^{-\frac{1}{t}})dt$
b) Pour $x>0;$ calculer :
${\int }_x^1(1+\frac{1}{t})e^{-\frac{1}{t}}dt$.
Puis montrer que:
$\underset{x➝0^{+}}{lim}{\int }_x^{1}f(x)dx=\frac{1}{e}$.
3) On considère la suite $(u_n)$ définie sur $N$ par:
$u_n=F(n)-F(n+2)$
a) En utilisant le théorème des accroissements finis,
montrer que :
$(\forall n\in N)(\exists v_n\in ]n,n+[)2,u_n=2(1+\frac{1}{v_n})e^{-\frac{1}{v_n}}$
b) Montrer que $\forall n\in I{N}^{\ast }$:
$2(1+\frac{1}{n})e^{-\frac{1}{n}}<u_n<2(1+\frac{1}{n+2})e^{-\frac{1}{n+2}}$.
En déduire $\underset{n➝+\infty }{lim}{u}_n$.

Partie C:
1-a) Montrer que:
$(\forall n\in I{N}^{\ast })(\exists !{\alpha }_n>0),f({\alpha }_n)=e^{-\frac{1}{n}}$
b) Montrer que la suite $({\alpha }_n)$ est croissante.
c) Justifier que $\forall n\in I{N}^{\ast }$ on a :
$-\frac{1}{{\alpha }_n}+\ln (1+\frac{1}{{\alpha }_n})=-\frac{1}{n}$
2-a) Montrer que $\forall t\ge 0,1-t\le \frac{1}{1+t}\le 1-t+t^2$
b) En déduire que:
$(\forall x\ge 0),-\frac{x^2}{2}\le -x+\ln (1+x)\le -\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}$
3) Soit $n$ un entier tel que $n\ge 4$
a) Vérifier que ${\alpha }_4\ge 1$
puis déduire que ${\alpha }_n\ge 1$
sachant que $e^{\frac{3}{4}}\ge 2$
b) Montrer que :
$1-\frac{2}{3{\alpha }_n}\le \frac{2{\alpha }_n^2}{n}\le 1.$
(On peut utiliser : (1-c) et (2-b) partie C:
c) Montrer que : $\sqrt{\frac{n}{6}}\le {\alpha }_n.$
En déduire $\underset{n➝+\infty }{lim}{\alpha }_n$
d) Calculer:
$\underset{n➝+\infty }{lim}({\alpha }_n\sqrt{\frac{2}{n}})$




EXERCICE 3
Thème Arithmétiques:
Les parties A et B sont indépendantes
Partie A :
Afin de crypter un message, on utilise un chiffrement affine Chaque lettre de l'alphabet est associée à un nombre entier comme indiqué dans le tableau ci-dessous:

Soit $x$ le nombre associé à la lettre à coder.
On détermine le reste $y$ de la division euclidienne de $7x+5$ par 26 ,
puis on en déduit la lettre associée à $y$
(c'est elle qui code la lettre d'origine).
Exemple : M correspond à $x=12.$
On a $7\times 12+5=89$
Or $89\equiv 11[26]$ et 11 correspond à la lettre $L_2$
donc la lettre M est codée par la lettre L.
1) Coder la lettre L.
2-a) Soit $k$ un entier relatif.
Montrer que si $k\equiv 7x[26]$ alors $15k\equiv x[26]$.
b) Démontrer la réciproque de l'implication précédente.
c) En déduire que $y\equiv 7x+5$ [26] équivaut à $x\equiv 15y+3[26]$.
3) À l’aide de la question précédente décoder la lettre $F$.






Partie B :
On considère les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ telles que:
$a_0$ et $b_0$ sont des entiers compris entre 0 et 25 inclus
et pour tout entier naturel:
$n,a_{n+1}=7a_n+5$ et $b_{n+1}=15b_n+3$.
Montrer que pour tout entier naturel $n$:
$a_n=(a_0+\frac{5}{6})\times 7^n-\frac{5}{6}$.
On admet pour la suite du problème que:
$(\forall n\in N),b_n=(b_0+\frac{3}{14})\times {15}^n-\frac{3}{14}$.


Partie C :
Déchiffrer un message codé avec un chiffrement affine ne pose pas de difficulté
(on peut tester les 312 couples de coefficients possibles).
Afin d'augmenter cette difficulté de décryptage,
on propose d'utiliser une clé qui indiquera pour chaque lettre le nombre de fois où on lui applique le chiffrement affine de la partie $A$.
Par exemple pour coder le mot MATH avec la clé $2-2-5-6$, on applique « 2 » fois le chiffrement affine à la lettre $M$ (cela donne $E$ ), « 2 » fois le chiffrement à la lettre $A$, « 5 » fois le chiffrement à la lettre T et enfin « 6 » fois le chiffrement à la lettre $H$.
Dans cette partie, on utilisera la clé $2-2-5-6$. Décoder la lettre Q dans le mot IYYQ.






EXERCICE 5
Thème Nombres complexes:
On considère les nombres complexes $z_n$ définis, pour tout entier naturel $n$, par:
$z_0=1$ et $z_{n+1}=(1+i\frac{\sqrt{3}}{3})z_n$
On note $A_n$ le point d'affixe $z_n$ dans le repère orthonormé
$(O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ de l'annexe.
L'objet de cet exercice est d'étudier la construction des points $A_n$
1-a) Vérifier que:
$1+i\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2}{\sqrt{3}}{e}^{i\frac{\pi }{6}}$.
b) En déduire:
$z_1$ et $z_2$ sous forme exponentielle.
2-a) Montrer que pour tout entier naturel n:
$z_n=(\frac{2}{\sqrt{3}}{)}^n{e}^{in\frac{\pi }{6}}$.
b) Pour quelles valeurs de $n$, les points $O,A_0$ et $A_n$ sont-ils alignés?
3) Pour tout entier naturel $n$, on pose $d_n=|z_{n+1}-z_n|$.
a) Interpréter géométriquement $d_n$.
b) Calculer $d_0$.
c) Montrer que ∀n∈ IN ^{*}:
$z_{n+2}-z_{n+1}=(1+i\frac{\sqrt{3}}{3})(z_{n+1}-z_n)$.
d) En déduire que la suite $(d_n{)}_{n⩾0}$ est géométrique
puis que ∀n∈ IN : $d_n=\frac{\sqrt{3}}{3}(\frac{2}{\sqrt{3}}{)}^n$
4-a) Montrer que pour tout entier naturel n:
$|z_{n+1}{|}^2=|z_n{|}^2+d_n^2$.
b) En déduire que pour tout entier naturel n:
le triangle $O{A}_n{A}_{n+1}$ est rectangle en $A_n$.
c) Construire, à la règle non graduée et au compas, le point $A_5$
sur la figure de l'annexe.
d) Justifier cette construction.

EXERCICE 2

$I=(\begin{array}{ll}1& 0\\ 0& 1\end{array})$ et $A=(\begin{array}{cc}-2& 2\\ 2& 3\end{array})$

1) Montrer que:

$(A,I)$ est une famille libre dans $M_2(R).$

2) On considère l'ensemble : 

$.E=\{\begin{array}{cc}-2x+y& 2x\\ 2x& 3x+y\end{array})/(x,y)\in R^2\}$

a) Montrer que:

$(\mathrm{\forall }(M,N)\in E\times E)(\forall \alpha \in R),M+N\in E$ et $\alpha \cdot N\in E$

b) Montrer que:

$(E,+,.)$ est un espace vectoriel réel de dimension 2 .

EXERCICE 4 

Thème: Probabilités:

Une entreprise fabrique des appareils électroniques.
La probabilité qu'un appareil ainsi fabriqué fonctionne parfaitement est $\frac{9}{10}$.

1- On note $F$ l'événement ń l'appareil fonctionne parfaitement $\dot{z}$.
Calculer la probabilité de l'événement contraire $\overline{F}$

2- On fait subir à chaque appareil un test avant sa livraison.
On constate que : quand un appareil est en parfait état de fonctionnement, il est toujours accepté à l'issue du test; quand un appareil n'est pas en parfait état de fonctionnement, il peut être néanmoins accepté, avec une probabilité égale $\frac{1}{11}$.
On note $T$ l'événement $n$ l'appareil est accepté à l'issue du test $\dot{z}$.

a) Vérifier que:
$P(T\cap F)=\frac{9}{10}.$ Calculer $P(T\cap \overline{F})$

b) Déduisez-en la probabilité de $T$

c) Calculer la probabilité conditionnelle de $F$ par rapport à $T$.