Sujet Bac Ancien Exercices intégrales PDF terminale S

Sujet Bac Ancien Exercices intégration PDF
terminale S

📑 Japon 1996 ( modifié) 

Pour tout entier n strictement positif.

on considère la fonction  $f_n$ définie sur ] 0,+∞[ par

$f_n(x)=\frac{(lnx{)}^n}{x^2}$

et on pose $I_n={\int }_1^e{f}_n(x)dx$

1. Calculer la dérivée de $x⟶\frac{1+lnx}{x}$. 

En déduire $I_1$.

2. En utilisant une intégration par parties 

montrer que: $I_{n+1}=-\frac{1}{e}+(n+1)I_n$.

En déduire $I_2$.

3. En utilisant la formule précédente, 

montrer par récurrence que pour tout entier n non nul:

$\frac{1}{n!}{I}_n=1-\frac{1}{e}(1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{n!})$.

4. En utilisant un encadrement de ln $x$ sur $[1,e]$, 

montrer que pour tout $n$ entier naturel non nul: $0\le I_n\le 1$.

En déduire$\underset{n➝+\infty }{lim}(1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{n!})$.

📑 Amérique du Sud 1995 

On pose pour tout entier naturel $n$ non nul:

$I_n={\int }_1^e{x}^2(lnx{)}^{n}dx$

où ln désigne la fonction logarithme népérien, 

et pour n=0; $I_0={\int }_1^e{x}^{2}dx$

1. Calculer $I_o$.

2. En utilisant une intégration par parties, calculer $I_1$.

3. En utilisant une intégration par parties, 

démontrer que pour tout entier naturel n non nul: 

$3I_{n+1}+(n+1)I_n=e^3$  ①

En déduire $I_2$.

a) Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $I_n$ est positive.

b) Déduire de l'égalité ① que:

pour tout entier naturel n non nul, $I_n\le \frac{e^3}{n+1}$.

c) Déterminer $\underset{n➝➝+\infty }{lim}{I}_n$.

📑 Sportifs de haut niveau 1994 

On considère la suite 1 définie par:

$I_0={\int }_0^1{e}^{x}dx$ et pour tout entier naturel $n\ge 1$ par:

$I_n=\frac{1}{n!}{\int }_0^1(1-x{)}^n{e}^{x}dx$

1) a) Calculer ${\int }_0^1(1-x{)}^{n}dx$.

(b) A l'aide de l'encadrement: $1\le e^x\le e$ valable sur l'intervalle [0,1].

montrer que pour tout entier n≥1 on a:

$\frac{1}{(n+1)!}\le I_n\le \frac{e}{(n+1)!}$

c) Montrer que la suite $I_n$ est convergente et déterminer sa limite.

2) a) Calculer $I_0$. puis $I_1$ à l'aide d'une intégration par parties.

b) Établir, en intégrant par parties, que pour tout entier  n≥1,  on a:

$I_{n-1}-I_n=\frac{1}{n!}$ ①

3. On pose, pour tout entier $n\ge 1:$

$J_n=1+\frac{1}{1!}+...+\frac{1}{n!}$

a) En utilisant les relations ①, 

exprimer $J_n$ à l'aide de $I_0$ et $I_n$

b) En déduire la limite $J$ de la suite $(J_n)$

c) Justifier l'encadrement:

$\frac{1}{(n+1)!}\le J-J_n\le \frac{e}{(n+1)!}$

📑 Polynésie 1991 

Dans cet exercice, on se propose d'encadrer l'intégrale:

$K={\int }_0^1\frac{e^{-x^2}}{1+x}dx$

1). En étudiant les variations des fonctions:

$g:x➝e^{-x}+x-1eth:x➝1-x+\frac{x^2}{2}-e^{-x}$ 

sur l'intervalle $[0,1]$.

démontrer que pour tout $x$ de $[0,1]$.

$1-x\le e^{-x}\le 1-x+\frac{x^2}{2}$  ①

2). Déduire de ①. 

un encadrement de $e^{-x^2}$ pour x élément de [0,1], 

puis montrer que pour tout $x$ de [0,1]:

$1-x\le \frac{e^{-x^2}}{1+x}\le 1-x+\frac{x^4}{2(1+x)}$ ②

3). a) Montrer que pour tout $x$ de [0,1]:

$\frac{x^4}{1+x}=x^3-x^2+x-1+\frac{1}{1+x}$

b) Déduire alors de ② que:

$\frac{1}{2}\le K\le \frac{5}{24}+\frac{\ln 2}{2}$

Donner une valeur approchée de $K$ à $3\times {10}^2$ près.

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