Olympiade de Mathématique
( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.
Olympiade de Math - Algèbre Niveaux 01 - Exercice 42
x,y,z des réels positifs.
Tel que xyz=1.
Montrer que: x³ + y³ + z³ ≥ 3.
on a:
x³+y³+z³-3xyz=(x+y+z)(x²+y²+z²-xy-yz-zx) ①
x,y,z positifs
➝ x+y+z≥0
d'autre part:
x²+y²≥2xy, x²+z²≥2xz, y²+z²≥2yz
➝ 2(x²+y²+z²)≥2(xy+yz+zx)
➝ x²+y²+z²≥xy+yz+zx
①⤵️
x³+y³+z³≥3xyz
donc: x³+y³+z³≥3
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