Olympiade Math - Algèbre 03 - Ex 03

 Olympiade de Mathématique

( compétition de mathématiques destinée aux élèves des lycées et collèges)

Olympiade Math - Algèbre 03 - Exercice 03

Soient x et y deux nombres réels non nuls.
 Tel que: x³ + y³ + 3x²y² = x³y³. 
Déterminer toutes les valeurs possibles du nombre:  1/x + 1/y. 

Voir Solution

Récrire l’équation sous la forme 
x³ +y³ −x³y³ = −3x²y², 
Montrer que 
(x+y)3 −x3y3 = 3xy(−xy + x + y) 
Utiliser l’identité remarquable 
a³−b³ = (a−b)(a²+ab+b²) 
pour démontrer que 
(x+y)³−x³y³ = (x + y − xy)(x² + y² + 2xy + x²y + xy² + x²y²)
puis en déduire que 
x + y − xy = 0 ①
ou 
x² + y² + 2xy + x²y + xy² + x²y² = 3xy ②

* cas 1: ①
➝ x + y − xy = 0 
Donc  1/x + 1/y =1.

* cas 2:②
2x②
➝ (x²+y²-2xy)+(x²y²+2xy²+y²)+(x²y²+2x²y+y²)=0
➝ (x−y)² + y²(x+1)² + x²(y+1)²=0
➝ x = y = −1 
Donc 1/x + 1/y = −2

Liens utiles :

L’Olympiade Internationale de Mathématiques (OIM)

site officiel de l’OIM, fondation de l’OIM

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