Olympiade Math - Arithmétique 02 - Ex 03

Olympiade de Mathématique

( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.

▶️ Olympiade Mathématiques - Arithmétique Niveaux 02 - Ex 03

Déterminer toutes les fonctions f : Z→Z
Telles que: ∀ n ∈ Z:

f(x+y) = f(x)+f(y)

Solution:

Soit f une solution. 

* Pour x = y = 0:

➝f(0) = 2f(0)➝ f(0) = 0.

* Calculons f(1)

* Pour y = 1:

➝f(x + 1) = f(x) + f(1).(x∈Z).

* Pour y = 2:

➝f(2) = f(1+1)=2f(1)

on pose f(1)=a

➝f(2)=2a;f(3)=3a;......f(n) = na avec n∈IN.

(Démonstration par récurrence)

➝f(n) = na ∀n∈IN①

d'autre part

Si n∈Z⁻ (n entier relatif négative)

on pose n=-m avec m∈IN.

* Pour  y=-m & x=m:

on a f(x+y) = f(x)+f(y)

➝f(0)=f(m) + f(-m) avec f(0)=0.

➝f(-m) = -f(m). avec f(m)=ma d’après ①

➝f(-m)=-ma

➝f(n) = na ∀n∈Z⁻②

①&② ▶️ f(n) = an  ∀n∈Z

Réciproquement

la fonction f(n) = an avec a,n ∈Z  

est bien une solution du problème.

f(x+y)=a(x+y)=ax+ay=f(x)+f(y).

Liens utiles : 

L’Olympiade Internationale de Mathématiques (OIM)
site officiel de l’OIM, fondation de l’OIM

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