Examen Bac 2 Pdf 2020 Math Préparation 15
Durée de l'épreuve 3h
L’épreuve est composée de trois exercices et un problème
indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:
* Suite Numérique (5 points )
* Nombres complexes (5 points )
* Calcul Intégrale (2.25 points )
* Etude d’une fonction numérique (7.75points )
* Suite Numérique (5 points )
* Nombres complexes (5 points )
* Calcul Intégrale (2.25 points )
* Etude d’une fonction numérique (7.75points )
* Suite Numérique (5 points )
Partie I:
Soit \(hx\) la fonction définie sur [0,+∞[ par:
h(x)=x-ln(x+1)
On pose \(l(x)=ln(x+1)\)
et soit \((C_{l})\) la courbe représentative de la fonction \(l\)
dans un repère orthonormé \((o, \vec{i}, \vec{j})\)
1. Résoudre graphiquement l'équation \(l(x)=x\)
et en déduire la valeur de \(h(0)\)
2. Déterminer graphiquement le signe de la la fonction \(l\),
et en déduire la position relative de \((C_{h})\) et la droite d'équation \(y=x\)
Partie II:
On considère la suite \((u_{n})_{n ∊N }\) définie par:
\(\{\begin{array}{l}u_{0}=1 \\ u_{n+1}=h(u_{n}) ;(∀ n ∊N )\end{array}.\)
1. Montrer par récurrence que:
\((∀ n ∊N ), u_{n}≥ 0\)
2. a) Montrer que:
la suite \((u_{n})_{n ∊N }\).est décroissante.
(on poura utiliser la question I.2)
b) En déduire que: \((∀ n ∊N ) u_{n} ≤ 1\)
3. En déduire que:
la suite \((u_{n})_{n ∊N }\) est convergente.
4. Déterminer: \(\lim _{n➝+∞} u_{n}\).
(on remarque que : 1-ln (2)<1)
* Nombres complexes (5 points )
Soient \(z_{1}\) et \(z_{2}\) les solutions de l'équation (E):
\( z^{2}-8 z+25=0\) avec \(Im(z_{1})>0\)
1. On considère les points \(A, B\) et \(C\) d'affixes respectives:
\(a=z_{1}+i\) ; \(b=z_{2}-i\) et c=2-2i.
(a) Vérifier que :
\(a=4+4 i\) et \(b=\bar{a}\)
et montrer que : \(a=4 \sqrt{2} e^{i \frac{π}{4}}\)
(b) En déduire la nature du triangle OAB
2. Soit \(R\) la rotation de centre \(I(2 i)\) et d'angle \(-\frac{π}{2}\)
(a) Montrer que:
l'écriture complexe de la rotation \(R\) est \(: z '=-i z-2+2 i\)
b) Vérifier que: R(A)=C
c) En déduire la nature du triangle IAC
3. Soit h l'homothétie de centre \(J\)(16 i) et de rapport \(\frac{4}{3}\)
et soit \(D\) un point vérifiant: \(h(D)=B\)
Montrer que:
l'affixe de D est d=3+i et que D est le milieu du segment [AC]
4. Soit E l'image de D par la translation T de vecteur \(\vec{w}(-1+i)\)
a) Déterminer l'affixe de E.
b) Déterminer:
l'ensemble des points \(M(z)\) tel que : \(|\bar{z}-3+i|=|z-2-2 i|\)
* Calcul Intégrale (2.25 points )
Les deux questions sont indépendantes
1. Déterminer une fonction primitive de la fonction
\( x ⟶ 2x(x^{2}-1)^{2019}\) sur IR
En déduire que:
\(\int_{1}^{\sqrt{2}} 2 x(x^{2}-1)^{2019} d x=\frac{1}{2020}\)
2. En utilisant une intégration par parties, montrer que:
\(\int_{-1}^{0}(2 x+2) \ln (x+2) d x=\frac{1}{2}\)
* Etude d’une fonction numérique (7.75points )
Partie I: fonction auxiliaire
On considère la fonction g définie sur \(IR\) par:
\(g(x)=2 e^{2 x}-4 e^{x}+2\)
1. a) Montrer que :
\(∀ x ∊R g '(x)=4 e^{x}(e^{x}-1)\)
b) Déduire que:
g est croissante sur [0 ;+∞[et décroissante sur]-∞, 0]
2. Calculer \(g(0)\), et en déduire que:
\(g(x)≥ 0\) pour tout \(x\) dans \(R\).
Partie II: Étude d'une fonction
On considère la fonction \(f\) définie sur \(IR\) par:
\(f(x)=2 x-2+(e^{x}-2)^{2}\)
et \((C_{f})\) sa courbe dans un repère orthonormé
\((o, \vec{i}, \vec{j})\) tel que: \((\|\vec{i} |=\| \vec{j} \|=2 c m)\)
1. a) Montrer que \(\lim _{x➝+∞} f(x)=+∞\)
et \(\lim _{x➝+∞} \frac{f(x)}{x}=+∞\)
puis interpréter graphiquement le résultat.
b) Calculer \(\lim _{x➝-∞} f(x)\) puis montrer que :
\(\lim _{x ➝-∞}(f(x)-(2 x+2))=0\)
et Interpréter graphiquement le résultat.
2. a) Montrer que : \((∀ x ∊R ) f '(x)=g(x)\)
b) Dresser le tableau de variation de \(f\) sur \(R\)
c) Montrer que \(y=2 x-2\) est une équation cartésienne
de la droite tangente à \((C_{f})\) au point d'abscisse \(ln 2\)
3. Calculer \(f '(x)\) pour tout x dans IR
puis déduire que \((C_{f})\) admet le point \(A(0,-1)\)
comme point d'inflexion.
4. Montrer que:
l'équation f(x)=0 admet
une solution unique α dans l'intervalle ]0; 1[.
5. Construire \((C_{f})\) dans le repère \((O, \vec{i}, \vec{j})\)
Prof.QALLOUQ Abdelhlah
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