Olympiade Math - Algèbre 01 - Ex 55

Soient x et y deux nombres réels 

Tels que : -1≤x≤1 & -1≤y≤1
1) Montrer que:

2) pour quelles valeurs de x et y l'égalité a lieu ?

Voir Solution

1)
On a: 

(a-b)²≥0
➝ 2ab≤a²+b² 

* On pose: 

a²=1-x² & b²=1-y²

①

il suffit de montrer que:

1-x²+1-y²≤ 2(1-x)(1-y)+1

Calculons la différence:

A=2(1-x)(1-y)+1-[1-x²+1-y²]

A=x²+y²-2x-2y+2xy+1

A=(x+y)²-2(x-y)+1

A=(x+y-1)²≥0

d'ou 1-x²+1-y²≤ 2(1-x)(1-y)+1 ②

Donc:

2) Si on a égalité:

(a)

d’après ①⤵️

2(1-x)(1-y)+1≤1-x²+1-y²

d’après ②⤵️

1-x²+1-y²≤ 2(1-x)(1-y)+1

d' où: 

➝ 2(1-x)(1-y)+1=1-x²+1-y²

➝ (x+y-1)²=0

➝ x+y=1 (a)

On prend le cas suivante:

1-x²=1-y²

x²-y²=0

x-y=0 (b)

(a)+(b)

2x=1➝ x=1/2 

L’égalité est réalisée si et seulement si x=y=1/2.

Olympiade de Mathématique

( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)

Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.

Liens utiles :

L’Olympiade Internationale de Mathématiques (OIM)

site officiel de l’OIM, fondation de l’OIM

Olympiade de Maths, c'est une gymnastique de l'esprit, Ce qu'il faut c'est 4 math .net et beaucoup de pratiques. 
4 math .net Le première clé pour être bon en maths