Olympiade Math - Algèbre 01 - Ex 39

Olympiade de Mathématique 

( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)

Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.

Olympiade de Math - Algèbre Niveaux 01 - Exercice 39

Trouver tous les nombres naturels x, y, z 
tel que :  
x < y < z
et x + y + z + xy + yz + zx + xyz = 2019.

Solution

calculons: 
(1 + x)(1 + y)(1 + z)=
x + y + z + xy + xz + yz + xyz+1
* L'égalité se réécrit donc :
(1 + x)(1 + y)(1 + z)-1=2019
➝ (1 + x)(1 + y)(1 + z)=2020 (1)
* comme on a:
0 < x < y < z➝1 < 1 + x < 1 + y < 1 + z
* décomposition en facteurs premiers de 2020
2020=2x2x5x101
* cas 1:
2020=2x10x101
(1)
1+x=2 ; 1+y=10 ; 1+z=101
x=1 ; y=9 ; z=100
* cas 2:
2020=2x5x202
(1)
1+x=2 ; 1+y=5 ; 1+z=202
➝ x=1; y=4;z=201
* cas 3:
2020=4x5x101
(1)
1+x=4 ; 1+y=5 ; 1+z=101
➝ x=3; y=4;z=100
➡S= (1,9,100);(1,5,202);(3,9,100)

Liens utiles : 

L’Olympiade Internationale de Mathématiques (OIM)
site officiel de l’OIM, fondation de l’OIM

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