Olympiade Math - Algèbre 02 - Ex 06

Olympiade de Mathématiques

( compétition de mathématiques destinée aux élèves des lycées et collèges)

▶️ Olympiade Math - Algèbre 02 - Exercice 06

1- Soient a, b, c, d des nombres réels 

tels que: a ⩽ b et c ⩽ d.

 Montrer que :

ac + bd ≥ ad + bc.

2- Soient x, y > 0. 

Montrer que :

Solution

1)- Calculons  la différence :
ac + bd - ad + bc=a(c-d)+b(d-c)
ac + bd - ad + bc=(d-c)(b-a)≥0

➨ ac + bd ≥ ad + bc.

2)- On a

* x²+y² ≥ 2xy (྾ x/y )

x³/y  + xy ≥ 2x² ①

*x²+y² ≥ 2xy (྾ y/x ) 

xy  + y³/x ≥ 2y² ②

①+② x³/y +y³/x+2xy ≥ 2x²+2y²

➝ x³/y +y³/x ≥ 2x²+2y²+2xy③

or 2x²+2y²+2xy=(x+y)²+x²+y²≥x²+y²

③ ➨ x³/y +y³/x ≥ x²+y²

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Liens utiles : 

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site officiel de l’OIM, fondation de l’OIM

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