Examen Math Bac 2 Science Math 2020 Normale
7 juillet 2020 - Session Normale - Avec Correction -
Duré de l’épreuve: 4 heuresles 4 exercices indépendants entre eux.
Le candidat a le choix de répondre exclusivement:
Soit a l'exercice 1 ou exercice 2.
Le candidat a le choix de répondre exclusivement:
Soit a l'exercice 1 ou exercice 2.
Exercice 1 (au choix ) : Arithmétique - 3.5 points
Exercice 2 (au choix ) : Structure Algébrique - 3.5 points
Exercice 3 (obligataire) : Les Nombres Complexes - 3.5 points Exercice 4 (obligataire) : Analyse - 13 points
PARTIE I :
Le candidat a le choix de répondre exclusivement:
Soit a l'exercice 1 Soit a l'exercice 2
* Exercice 1 (au choix ) : Arithmétique - 3.5 points *
On considère dans \(Z×Z\) l'équation \((D)=7 x^{3}-13 y = 5\)
Soit (x, y) ∈ \(Z×Z\) une solution de l’équation (D)
Montrer que: \(x\) et 13 sont premiers entre eux
b En déduire que: \(x^{12}≡ 1 [13]\)
Montrer que: \(x^{3}≡ 10 [13]\)
a En déduire que: \(x^{12}≡ 3 [13]\)
2 Déduire des questions précédentes, que:
l'équation (D) n'admet pas de solution dans \(Z×Z\)
* Exercice 2 (au choix ) : Structure Algébrique - 3.5 points *
On note par \(M_{2}( IR )\) I'ensemble des matrices carrées d'ordre deux.
On rappelle que \((M_{2}(IR),+,×)\) est un anneau non commutatif unitaire
d'unité \(I=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)\)
et que \((R^{*}, ×)\) est un groupe commutatif.
On considéré le sous-ensemble \(E\) de \(M_{2}( R )\) défini par:
\(E=\left\{\left(\begin{array}{ll}1 & x \\ 0 & y\end{array}\right) /\; x ∈IR\;et\; y ∈IR ^{*}\right\}\)
1) a. Montrer que \(E\) est une partie stable de \((M_{2}(IR),× )\)
b. Montrer que la multiplication n'est pas commutative dans \(E\).
c. Vérifier que:
\((∀ x ∈IR )\left(∀ y ∈IR ^{*}\right):\)
\(\left(\begin{array}{cc}
1 & x \\
0 & y
\end{array}\right) ×\left(\begin{array}{cc}
1 & -\frac{x}{y} \\
0 & \frac{1}{y}
\end{array}\right)\)
1 & x \\
0 & y
\end{array}\right) ×\left(\begin{array}{cc}
1 & -\frac{x}{y} \\
0 & \frac{1}{y}
\end{array}\right)\)
\(=\left(\begin{array}{cc}
1 & -\frac{x}{y} \\
0 & \frac{1}{y}
\end{array}\right) ×\left(\begin{array}{cc}
1 & x \\
0 & y
\end{array}\right)\)
1 & -\frac{x}{y} \\
0 & \frac{1}{y}
\end{array}\right) ×\left(\begin{array}{cc}
1 & x \\
0 & y
\end{array}\right)\)
\(=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right)\)
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right)\)
2. Montrer que:
\((E, x)\) cst un groupe non commutatif.
3. On considére le sous-ensemble \(F\) de \(E\) défini par:
\(F=\left\{M(x)=\left(\begin{array}{cc}1 & x-1 \\ 0 & x\end{array}\right) / x ∈R ^{*}\right\}\)
a. Montrer que l'application définie par:
\(\left(∀ x ∈R ^{*}\right) ; \varphi(x)=M(x)\) est un homomorphisme de \(\left( R ^{*}, ×\right)\) vers \((\bar{E}, ×)\)
b. En déduire que:
\((F, x)\) est un groupe commutatif dont on précisera l’élément neutre,
Partie II:
Obligatoire: Exercice 3 et Exercice 4
* Exercice 3 (obligataire) : Les Nombres Complexes - 3.5 points *
Soit m un nombre complexe non nul.
Partie I :
On considéré dans ℂ l'équation d'inconnue \(z\):
\((E): z^{3}-2 m z^{2}+2 m^{2} z-m^{3}=0\)
1. Résoudre dans ℂ l'équation \((E)\)
On remarque que m est une solution de l’équation \((E)\)
2. On note \(z_{1}\) et \(z_{2}\) les deux autres solutions de l’équation \((E)\) autre que \(m\)
2.a Vérifier que: \(\frac{1}{z_{1}}+\frac{1}{z_{2}}=\frac{1}{m}\)
b Dans le cas où \(m=1+e^{i \frac{π}{3}}\), écrire sous la forme algébrique \(z_{1}\) et \(z_{2}\)
Partie II :
Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormé direct \((O;\vec{u},\vec{v})\)
On considère les points A et B d’affixes respectives:
\(a=m e^{\frac{π}{3}}\) et \(b=m e^{-i \frac{π}{3}}\)
On note:
* \(P\) le centre de la rotation d'angle \((\frac{π}{2})\) qui transforme \(O\) en \(A\)
* \(Q\) le centre de la rotation d'angle \((\frac{π}{2})\) qui transforme \(A\) en \(B\)
* \(R\) le centre de la rotation d'angle \((\frac{π}{2})\) qui transforme \(B\) en \(O\)
1. Montrer que: les points O, A et B ne sont pas alignes.
2. a. Montrer que l'affixe de P est \(p=m \frac{\sqrt{2}}{2}e^{i \frac{7π}{12}}\)
et que l'affixe de R est \(r=m \frac{\sqrt{2}}{2}e^{-i \frac{7π}{12}}\)
b. Montrer que:
l'affixe de Q est \(q=m \sqrt{2}\sin(\frac{7π}{12})\)
3. Montrer que:
OQ=PR et que les deux droites (OQ) et (PR) sont perpendiculaires.
* Exercice 4 (obligataire) : Analyse - 13 points *
Partie I :
On considère la fonction \(f\) définie sur l'intervalle I=[0;+∞[ par:
\(f(0)=0\) et ∀ x∈] 0;+∞[: \(f(x)=x^{3}ln(1+\frac{1}{x})\)
et soit \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé
\((O;\vec{i},\vec{j})\) (On prendra \(\|\vec{i}\|=\|\vec{j}\|=1 cm\))
1. On appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction:
t ⟶ ln(t) sur l'intervalle I=[x;x+1], Montrer que:
(P):(∀ x∈] 0;+∞[) ; \(\frac{1}{x+1}<ln(1+\frac{1}{x})<\frac{1}{x}\)
2. En utilisant la proposition ( \(P\) ), montrer que:
la fonction \(f\) est dérivable a droite en 0
b. En utilisant la proposition \((P)\), montrer que:
la courbe \((C)\) admet une branche parabolique dont on précisera la direction.
3.a. Montrer que:
la fonction \(f\) est dérivable sur ] 0;+∞[ et que :
(∀ x∈] 0,+∞[) ; \(f '(x)=3 x^{2}(ln(1+\frac{1}{x})-\frac{1}{3(1+x)})\)
b.En déduire que:
la fonction \(f\) est strictement croissante sur \(I\)
(On pourra utiliser la proposition \((P)\))
c. Dresser le tableau de variations de \(f\).
4. Pour tout x ∈] 0,+∞[, on pose: \(g(x)=\frac{f(x)}{x}\)
a. Vérifier que:
(∀ x∈] 0,+∞[) ; \(g '(x)=2x(ln(1+\frac{1}{x})-\frac{1}{2(1+x)})\),
en déduire que:
la fonction \(g\) est strictement croissante sur \(IR_{+}^{*}\)
b. Montrer que l'équation g(x)=1 admet sur \(IR _{+}^{*}\)
une solution unique notée α puis vérifier que α ∈]1;2[
(On prendra \(ln2=0.7\) et \(ln(\frac{3}{2})=1.5\)
En déduire que les seules solutions de l'équation \(f(x)=x\) sont 0 et \(α\)
5.a. Représenter graphiquement la courbe ( \(C\) )
(On précisera la demi-tangente à droite en O et la branche parabolique de \((C))\)
b. Montrer que: \(f\) est une bijection de \(I\) vers \(I\)
(On note \(f^{-1}\) sa bijection réciproque).
Partie II:
On considère la suite \((u_{n})_{n≥ 0}\) définie par:
\(0<u_{0}<α\) et (∀ n ∈IN) ; \(u_{n+1}=f^{-1}(u_{n})\)
1. Montrer par récurrence que: (∀ n ∈IN ); \(0<u_{n}<α\)
2.a. Montrer que: g(]0;α[)=]0;1[
b. En déduire que la suite \((u_{n})_{n≥ 0}\) est strictement croissante.
c. Montrer que la suite \((u_{n})_{n≥ 0}\) est convergente.
d. déterminer \(lim_{n➝+∞} u_{n}\)
Partie III :
On considère la fonction \(F\) définie sur l'intervalle \(I\) par:
\((∀ x ∈I) ; F(x)=\int_{x}^{1} f(t) dt\)
1.a. Etudier suivant les valeurs de x, le signe de \(F(x)\)
b. Montrer que:
la fonction \(F\) est dérivable sur \(I\) et déterminer sa dérivée première \(F '\)
c. En déduire que:\(F\) est strictement décroissante sur \(I\)
2.a. Montrer que ∀ x∈[1;+∞[: \(F(x)≤(1-x)ln2\)
b. En déduire \(\lim _{x➝+∞} F(x)\)
3.a. En utilisant la méthode d'intégration par parties,
montrer que ∀ x ∈] 0,+∞[:
\(F(x)=\frac{\ln 2}{4}-\frac{x^{2}}{4}ln(1+\frac{1}{x})+\frac{1}{4}\int_{x}^{1}\frac{t^{3}}{t+1}dt\)
b. Calculer:
\(\int_{x}^{1} \frac{t^{3}}{t+1} dt\) pour tout } x ∈]0,+∞[
On remarque que:
\(\frac{t^{3}}{1+t}=t^{2}-t+1-\frac{1}{1+t})\)
c. En déduire que ∀ x∈] 0,+∞[:
\(F(x)=\frac{5}{24}-\frac{x^{3}}{12}+\frac{x^{2}}{8}\frac{x}{4}+\frac{1}{4} \ln(1+x)-\frac{x^{4}}{4}ln (1+\frac{1}{x})\)
d. Calculer:
\(\lim _{x➝0^{+}} F(x)\), en déduire la valeur de \(\int_{0}^{1} f(t) d t\)
4. Pour tout entier naturel non nul n, on pose:
\(v_{n}=\sum_{k=0}^{k=n-1}(F(\frac{2 k+1}{2 n})-F(\frac{k}{n}))\)
a. Montrer que pour tout n ∈IN* et pour tout k ∈\{0,1, ..., n-1\}
\(-\frac{1}{2 n} f(\frac{2 k+1}{2 n}) \leq F(\frac{2 k+1}{2 n})-F(\frac{k}{n}) \leq-\frac{1}{2 n} f(\frac{k}{n})\)
b. En déduire que ∀ n ∈IN*:
\(-\frac{1}{2 n} \sum_{k=1}^{k=n}f(\frac{k}{n}≤v_{n}≤-\frac{1}{2 n} \sum_{k=0}^{k=n-1} f(\frac{k}{n})\)
(On remarque que: \(\frac{2 k+1}{2 n}<\frac{k+1}{n}\)
(6) Montrer que:
la suite numérique \((v_{n})_{n ∈IN *}\) est convergente et déterminer sa limite.
⇊⇊Télécharger Fichier PDF Gratuit:
-----------
Correction
By Prof. Ainabi Tariq
0 Commentaires