Olympiade Math - Algèbre 02 - Ex 33

Olympiade de Mathématique

( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)

Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.

Olympiade Math - Algèbre 02 - Exercice 33

a,b et c sont des réels positifs tels que a+b+c=1. Trouver la valeur maximale de l'expression

Voir Solution

* pour tout 0≤x≤1
On a : 

calculons la différence:

A=(x+2)/18 - 1/(x²-4x+9)

A=(x+2)(x²-4x+9)-18

A=x³-4x²+9x+2x²-8x+18-18

A=x³-2x²+x

A=x(x²-2x+1)=x(x-1)²≥0

* on pose x=a,b,c:

1/(a²-4a+9) ≤ (a+2)/18

1/(b²-4b+9) ≤ (b+2)/18

1/(c²-4c+9) ≤ (c+2)/18

d'ou:

et puisque on a l'égalité pour a=0,b=0,c=1

la valeur maximale cherchée est 7/18.

Liens utiles :

L’Olympiade Internationale de Mathématiques (OIM)

site officiel de l’OIM, fondation de l’OIM

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