Olympiade Math - Géométrie 02 - Ex 09

Olympiade de Mathématique 

( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)

Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.

Soit ABC un triangle et A' et B' les pieds des hauteurs issues de A et B. 

Montrer que:

A'B'C et ABC sont semblables.

Solution

On construit le point H orthocentre du triangle ABC.

* on a:

➝ a+c₁=α+c₁=90°

➝ a=α ①

* d'autre part:

les triangles HCB' & CHA' sont rectangles.

➝ les points A',C,B' et H sont cocycliques 

( sur un même cercle (C) de diamètre [CH])

➝ les angles inscrits CĤB' & CÂ'B' interceptent le même arc B͡'C. 

➝ α=a' ②

①&②  
⏵ a=a'

* dans les triangles ABC & A'B'C

c=c & a=a' 

b=(180°-a-c)=(180°-a'-c)=b'

⏵ABC & A'B'C sont semblables

Liens utiles : 

L’Olympiade Internationale de Mathématiques (OIM)
site officiel de l’OIM, fondation de l’OIM

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