Olympiade Math - Fonction - Ex 02

Olympiade de Mathématiques

( compétition de mathématiques destinée aux élèves des lycées et collèges)

Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.

▶️Olympiade Math - Fonction Exercice 02

Déterminer toutes les fonctions f : IN → IN

Tel que: pour tout entier naturel n: 
f(f(n)) = n + 1.

Solution

* pour f(0)
on pose f(0)=a
➝ f(f(0)) = 0+1=1
f(a)=1

* pour f(1)
on a f(a)=1
➝ f(f(a) = f(1)=a + 1.
➝ f(a+1)=f(f(1))=1+1=2

* de même pour f(2)
f(2)=f(f(a+1)=a+2


On remarque que pour tout n ≥ 0, f(n) = n+a. Démontrons par récurrence: 
* C’est vrai pour n = 0 (initialisation)
* on suppose qu'il est vrai pour n: f(n) = n+a.
* montrons le pour n+1:
 on a f(n) = n+a
➝ f(n + a) = f(f(n)) = n + 1
➝ f(n + 1) = f(f(n + a)) = n + a + 1
ce qui prouve que la relation est encore vraie pour n+1.
➝ Donc ∀ n∊IN f(n) = n+a.

* Cherchons a

on a f(n) = n+a.
on prend n=a
➝ f(a) = 2a. et  on sait que f(a) = 1. 
➝ 2a = 1 a=1/2, 
ce qui est impossible vu que a est entier. 
➝  Donc une telle fonction n’existe pas.

Liens utiles :

L’Olympiade Internationale de Mathématiques (OIM)
site officiel de l’OIM, fondation de l’OIM

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