Etudes de fonctions : fonctions polynômes

Etudes de fonctions

 ⇲  Etude d'exemples de fonctions polynômes 

Activité 1
Dans la figure ci-contre, OA = 8, le triangle OMN est équilatéral, M est un point du segment [OA]. On pose OM = x et on désigne par f(x) l'aire du triangle OMN et par g(x) l'aire du triangle AMN.
1) Exprimer f(x) et g(x) en fonction de x.
2) Etudier les fonctions f et g et tracer leurs
courbes représentatives dans un même repère orthonormé du plan.
3) Résoudre graphiquement, puis algébriquement, l'équation f(x) = g(x) et l'inéquation f(x) > g(x).

Activité 2
Le plan est muni d'un repère orthogonal R.

On considère la fonction f définie sur R par: 

f(x) = x³ - 3x² + 3.
On désigne par C la courbe représentative de f
dans un repère orthogonal R

1) a) Dresser le tableau de variations de f.
b) Etudier les branches infinies de C.
2) a) Montrer que pour tout réel x on a :
f(x) = (x - 1)3 - 3(x - 1) + 1.
b) En déduire que le point I (1,1) est un centre de symétrie de C.
3) a) Déterminer une équation cartésienne de la tangente T à C en I.
b) Montrer que le point I est un point d'inflexion de C.
4) Construire T et C.
5) Déduire la courbe representative C ' de la fonction g:x↦x³-3x²
6) Construire, dans le repère R

la courbe representative C ” de la fonction
h:x↦|x³-3x²|

Le plan est muni d'un repère orthogonal R

Soit f une fonction définie sur une partie D de R 

et C sa courbe représentative dans 

On désigne par g et h les fonctions définies sur D par
g:x➝ f(x)+ k (k réel fixé) et h:x➝-f(x)
On a alors, les résultats suivants :
*La courbe représentative de g dans le repère R

est l'image par la translation de vecteur k de la courbe C de f.
**La courbe représentative de h dans le repère R

est l'image de la courbe C de f par la symétrie axiale d'axe

Activité 3 
Soit f la fonction définie sur par f(x) = x⁴ - 2x² + 2 .
On désigne par C sa courbe représentative dans un repère orthonormé R
1) a) Montrer que f est une fonction paire.
b) Dresser le tableau de variation de f sur R+ .
c) Préciser les branches infinies de C.
2) a) Tracer C.
b) Utiliser le graphique pour déterminer le nombre de solutions de l'équation
f(x) = m, où m est un paramètre réel.
3) Tracer, dans le repère R
et avec une autre couleur la courbe C' représentative de (-f ).

Activité 4
Soit f la fonction définie sur par 
f(x) = x³ + x² + x + 5 .
1) Montrer f est dérivable sur 
et calculer f '(x).
2) Dresser le tableau de variation de f.
3) Construire la courbe représentative de f dans un repère orthonormé R