Olympiade Math - Arithmétique 02 - Ex 07

Olympiade de Mathématique

( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.

Olympiade de Math - Arithmétique Niveaux 02 - Exercice 07

Montrer qu'on ne peut pas trouver de carrés parfaits dans le Tableau ci-dessous:

11 111 1111 ...

22 222 2222 ...

33 333 3333 ...

44 444 4444 ...

55 555 5555 ...

66 666 6666 ...

77 777 7777 ...

88 888 8888 ...

99 999 9999 ...

Voir solution

* On a 
1²=1,2²=4,3²=9,
4²=16,5²=25,6²=36
7²=49,8²=64,9²=81....
* On remarque que les carrés se terminent toujours par 0,1,4,9,6,5.

Nous éliminons les  nombres :
22 22.....
33 33..... 
77 77.....
88 88.....

* d'autre part:
montrons n² = 0,1 mod 4
soit n∊IN

si n paire
n=2p➝  n²=4p
➝ n²=0 mod 4.

si n impaire
n=2p+1➝ n²=4p²+4p+1
➝ n²=1 mod 4

* Conclusion: 
n²=0,1 mod 4. ①

* pour les nombres: 
11=8+3 =3 mod 4
111 =100+11 = 3 mod 4
alors 11, 11... est toujours 3 mod 4.

* pour les nombres: 

44, 44... = 4 * 111... 

n'est pas un carré  car 1111 .. n'est pas un carré.

*  pour les nombres: 

55=52+3 = 3 mod 4.

555=5x100+55 = 3 mod 4.

alors 11, 11... est toujours 3 mod 4.
➝ 55, 55... est toujours 3 mod 4.

66, 66... est toujours 2 mod 4.

99, 99... est toujours 3 mod 4.

d'aprés ①: Il n’existe donc pas de carrés parfaits dans ces nombres.

Liens utiles :

L’Olympiade Internationale de Mathématiques (OIM)

site officiel de l’OIM, fondation de l’OIM

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