Olympiade de Mathématique
( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.
Olympiade de Mathématique
( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.
▶️ Olympiade Mathématiques - Arithmétique Niveaux 02 - Ex 05
1- Est-ce que 2016 est divisible par 81 ?
2- Est-ce que 20162016 est divisible par 81 ?
3- Montrer que l’entier N = 2016 · · · 2016 ("2016" étant écrit 2016 fois) est divisible par 81.
Solution
on rappelle
n nombre est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
1- La somme des chiffres de 2016 (=9)
est divisible par 9.
➝ 2016=9྾224
* La somme des chiffres de 224 (=8)
➝ 224 n’est pas divisible par 9.
On en déduit que
2016 n’est pas divisible par 9 × 9 = 81.
2- De même
on voit que 20162016 divisible par 9.
20162016= 9྾2240224.
* 2240224 n’est pas divisible par 9, donc 20162016 n’est pas divisible par 81.
3-
N = 2016 + 2016྾10⁴ + 2016྾10⁸ + · · · + 2016྾10⁴ˣ²⁰¹⁵. Comme 2016 = 9྾224, on en déduit que
N = 9྾(244+ 244྾10⁴ + 244྾10⁸ + · · · + 244྾10⁴ˣ²⁰¹⁵).
➝ N=9྾N'
➝ N'=0224 · · · 0224 ("0224" étant écrit 2016 fois).
* la somme des chiffres de N' =
(2 + 2 + 4) × 2016 = 8 × (9 × 224)
➝ N' est divisible par 9
▶️ On en déduit que N est divisible par 9྾9 = 81.
on rappelle
n nombre est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
1- La somme des chiffres de 2016 (=9)
est divisible par 9.
➝ 2016=9྾224
* La somme des chiffres de 224 (=8)
➝ 224 n’est pas divisible par 9.
On en déduit que
2016 n’est pas divisible par 9 × 9 = 81.
2- De même
on voit que 20162016 divisible par 9.
20162016= 9྾2240224.
* 2240224 n’est pas divisible par 9, donc 20162016 n’est pas divisible par 81.
3-
N = 2016 + 2016྾10⁴ + 2016྾10⁸ + · · · + 2016྾10⁴ˣ²⁰¹⁵. Comme 2016 = 9྾224, on en déduit que
N = 9྾(244+ 244྾10⁴ + 244྾10⁸ + · · · + 244྾10⁴ˣ²⁰¹⁵).
➝ N=9྾N'
➝ N'=0224 · · · 0224 ("0224" étant écrit 2016 fois).
* la somme des chiffres de N' =
(2 + 2 + 4) × 2016 = 8 × (9 × 224)
➝ N' est divisible par 9
▶️ On en déduit que N est divisible par 9྾9 = 81.
on rappelle
n nombre est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
1- La somme des chiffres de 2016 (=9)
est divisible par 9.
➝ 2016=9྾224
* La somme des chiffres de 224 (=8)
➝ 224 n’est pas divisible par 9.
On en déduit que
2016 n’est pas divisible par 9 × 9 = 81.
2- De même
on voit que 20162016 divisible par 9.
20162016= 9྾2240224.
* 2240224 n’est pas divisible par 9, donc 20162016 n’est pas divisible par 81.
3-
N = 2016 + 2016྾10⁴ + 2016྾10⁸ + · · · + 2016྾10⁴ˣ²⁰¹⁵. Comme 2016 = 9྾224, on en déduit que
N = 9྾(244+ 244྾10⁴ + 244྾10⁸ + · · · + 244྾10⁴ˣ²⁰¹⁵).
➝ N=9྾N'
➝ N'=0224 · · · 0224 ("0224" étant écrit 2016 fois).
* la somme des chiffres de N' =
(2 + 2 + 4) × 2016 = 8 × (9 × 224)
➝ N' est divisible par 9
▶️ On en déduit que N est divisible par 9྾9 = 81.
Liens utiles :
L’Olympiade Internationale de Mathématiques (OIM)
site officiel de l’OIM,
fondation de l’OIM
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