Olympiade Math - Arithmétique 02 - Ex 10

Olympiade de Mathématique

( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.
Olympiade de Math - Arithmétique Niveaux 02 - Exercice 10

Trouver le plus petit entier n ≥ 2
Tel que toutes les fractions suivantes:

soient irréductibles.

Voir Solution

Soit n∊IN.
* On a:

pour tout p = 19, 20,. . . , 91 

d’après hypotypose:

➝ p/n + p est irréductible 

➝ PGCD (p, n + p)=1 ①

* d'autr part:

(n + p) − p = n

➝ PGCD (p, n + p) = PGCD (p, n) 

①⤵️

PGCD (p, n) =1

* si n ∊{2, . . . , 18} 
PGCD (p, n) ≠1
➝ n ∉ {2, . . . , 18}

* si n ∊ {19, . . . , 91} 
PGCD (p, n) ≠1
➝ n ∉ {19, . . . , 91}

* On déduire que n ≥ 92 
et les facteurs premiers dans la décomposition de n doivent être supérieurs à 92 .
(en fait, sinon PGCD (p, n)≠1). 

On Conclure que le plus petit entier qui satisfait cette condition est 97.

Lien Utile:
L’Olympiade Internationale de Mathématiques (OIM)
site officiel de l’OIM, fondation de l’OIM

Olympiade de Maths, c'est une gymnastique de l'esprit, Ce qu'il faut c'est 4 math .net et beaucoup de pratiques. 
4 math .net Le première clé pour être bon en maths

Soit n∊IN.
* On a:

pour tout p = 19, 20,. . . , 91 

d’après hypotypose:

➝ p/n + p est irréductible 

➝ PGCD (p, n + p)=1 ①

* d'autr part:

(n + p) − p = n

➝ PGCD (p, n + p) = PGCD (p, n) 

①⤵️

PGCD (p, n) =1

* si n ∊{2, . . . , 18} 
PGCD (p, n) ≠1
➝ n ∉ {2, . . . , 18}

* si n ∊ {19, . . . , 91} 
PGCD (p, n) ≠1
➝ n ∉ {19, . . . , 91}

* On déduire que n ≥ 92 
et les facteurs premiers dans la décomposition de n doivent être supérieurs à 92 .
(en fait, sinon PGCD (p, n)≠1). 

On Conclure que le plus petit entier qui satisfait cette condition est 97.

Liens utiles :

L’Olympiade Internationale de Mathématiques (OIM)

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