Olympiade Math - Algèbre 03 - Ex 04

 Olympiade de Mathématiques

( compétition de mathématiques destinée aux élèves des lycées et collèges)

Olympiade Math - Algèbre 03 - Exercice 04

Déterminer tous les triplets (x, y, z) de nombres réels vérifiant le système suivant :

Voir Solution

* Ona:

x+y-z=-1 ①

x²-y ²+z²= 1 ②

-x³+y³+z³=-1 ③

①⤵️

x+y=z-1

Remplacer en suite dans ②⤵️
➝ (z − 1)(x − y + z + 1) = 0

➝ z = 1 ou x − y + z + 1 = 0

* Cas 1: z = 1 

➝ x = −y 

En remplaçant dans ③⤵️

 y = −1 et x = 1.

Donc (x,y,z) = (1,-1,1) 

* Cas 1: x −y +z + 1 = 0

➝ z = −x+ y − 1

En remplaçant dans ①⤵️

➝ x = −1

➝ z = y. 

En remplaçant dans ③⤵️

➝ y = z = −1,

Donc (x,y,z) = (-1,-1,-1).

Vérification des solutions.(x,y,z) =(1,-1,1) , (-1,-1,-1).

Liens utiles :

L’Olympiade Internationale de Mathématiques (OIM)

site officiel de l’OIM, fondation de l’OIM

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