Théorème 3: Inégalité de Cauchy-Schwarz - Algèbre 1 -

Olympiade de Mathématique 

( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)

Cours que nous vous proposons pour vous entraîner. 

Théorème 3: Inégalité de Cauchy-Schwarz

Soient a1,a2 ...,an, b1,b2...bn des réels.

Alors :

( a1²+...+an²)( b1²+...+bn²) ≥ (a1b1+...+anbn)².

avec égalité si et seulement si les vecteurs (a1,a2,...,an) et (b1,b2,...bn) sont colinéaires.

Epreuve:

♦️ Application 1 :

Montrer que, pour tous x1,x2, ...,xn > 0, on a :

Voir Solution 1

♦️ Application 2 : (USA 1978)

Soient a, b, c, d, e des réels tels que:

a+b+c+d+e= 8 et a²+b²+c²+d²+e²= 16.

Quelle est la valeur maximale de e?

Voir Solution 2

D'après Cauchy-Schwarz :

(a+b+c+d)² ≤ (1+1+1+1) (a²+b²+c²+d²)

(a+b+c+d)²

(8-e)² ≤ 4(16-e²)

5e²-16e ≤ 0

e(5e-16) ≤ 0

e ∊ [0,16/5]

la valeur maximale de e est:16/5.

Cette valeur étant atteinte pour:

a=b=c=d

a+b+c+d+e=8 a=b=c=d=(8-e)/4=6/5.

Théorème 1: L'inégalité triangulaire.
Théorème 2: Un carré est toujours positif.

Théorème 3: Inégalité de Cauchy-Schwarz.

Liens utiles :

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