Olympiade Math - Arithmétique 01 - Ex 19

Olympiade de Mathématique 

( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)

Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.

Olympiade de Math - Arithmétique Niveaux 01 - Exercice 19
Combien de paires d'entiers positifs (a, b) satisfont:

Voir solution

* On a: 
1/a+1/b=1/2019
➝ 2019a+2019b=ab
➝ ab-2019a-2019b=0

➝ a(b-2019)-2019b+2019²=2019²

➝ a(b-2019)-2019(b-2019)=2019²

➝ (b-2019)(a-2019)=2019²

➝ (a-2019) & (b-2019) divise 2019².

* d'autre part: 

2019²=3²x673²

➝ Nombre de diviseur de 2019² est 9:

* a-2019=1 & b-2019=3²x673² 

* a-2019=3 & b-2019=3x673²

* a-2019=3² & b-2019=673²

* a-2019=673 &  b-2019=3²x673

* a-2019=673² & b-2019=3² 

*a-2019=3x673 & b-2019=3x673 

*a-2019=3²x673 & b-2019=3x673 

* a-2019=3x673² & b-2019=3

* a-2019=3²x673² & b-2019=1

les  paires d'entiers positifs (a, b) est donc 9.

Liens utiles :

L’Olympiade Internationale de Mathématiques (OIM)

site officiel de l’OIM, fondation de l’OIM

Olympiade de Maths, c'est une gymnastique de l'esprit, Ce qu'il faut c'est 4math.net et beaucoup de pratiques. 4math.net Le première clé pour être bon en maths