Olympiade de Mathématiques
( compétition de mathématiques destinée aux élèves des lycées et collèges)
▶️ Algèbre Niv 01 - Ex 10 -x,y,z trois nombres réels strictement positifs et m ∊ IR
Tel que xyz = 1 &
Montrer que m = 1/2.
solution:
∸∸∸
on a xyz=1
⇾ yz=1/x ≡ xz=1/y
∸∸∸
▶️ yz+y+1= 1/x + y + 1
yz+y+1=(1+xy+x) / x
yz+y+1 = (1+xy+x) / x ①
∸∸∸
▶️zx+z+1= 1/y + z + 1
zx+z+1=(1+yz+y) / y
zx+z+1=(1+1/x+y) / y
zx+z+1=(x+1+xy) / xy
zx+z+1=(x+1+xy) / xy ②
∸∸∸
ona
A=2xm / (xy+x+1) + 2ym / (yz+y+1) + 2zm / (zx+z+1)=1
d’après ① & ② ↴
2xm / (xy+x+1) = 2xm / (xy+x+1)
2ym / (yz+y+1) = 2ym / [(1+xy+x) / x]
2ym / (yz+y+1) = 2yxm / (1+xy+x)
2zm / (zx+z+1) = 2zm / [(x+1+xy) / xy]
2zm / (zx+z+1) = 2m / (1+xy+1) (xyz=1)
▶️ A= (2xm+2xym+2m) / (1+xy+1)
▶️ A=2m
on a xyz=1
⇾ yz=1/x ≡ xz=1/y
∸∸∸
▶️ yz+y+1= 1/x + y + 1
yz+y+1=(1+xy+x) / x
yz+y+1 = (1+xy+x) / x ①
∸∸∸
▶️zx+z+1= 1/y + z + 1
zx+z+1=(1+yz+y) / y
zx+z+1=(1+1/x+y) / y
zx+z+1=(x+1+xy) / xy
zx+z+1=(x+1+xy) / xy ②
∸∸∸
ona
A=2xm / (xy+x+1) + 2ym / (yz+y+1) + 2zm / (zx+z+1)=1
d’après ① & ② ↴
2xm / (xy+x+1) = 2xm / (xy+x+1)
2ym / (yz+y+1) = 2ym / [(1+xy+x) / x]
2ym / (yz+y+1) = 2yxm / (1+xy+x)
2zm / (zx+z+1) = 2zm / [(x+1+xy) / xy]
2zm / (zx+z+1) = 2m / (1+xy+1) (xyz=1)
▶️ A= (2xm+2xym+2m) / (1+xy+1)
▶️ A=2m
A=1▶️ m=1/2
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