Olympiade Math - Algèbre 01 - Ex 08

Olympiade de Mathématiques

( compétition de mathématiques destinée aux élèves des lycées et collèges)

Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.

Olympiade Mathématiques - Algèbre Niv 01 - Ex 08
x,y,z trois nombres réels strictement positifs.
Montrer que:
\((x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})≥9\)

On a:
\((x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\)=
\(1+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+1+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+1\)
⇾=3+\(\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}\) ①
d'autre part:
on a
(x-y)²≥ 0
⇾ x²+y²≥2xy
et x,y>0
⇾ \(\frac{x^{2}}{xy}+\frac{y^{2}}{xy}\)≥2
⇾ \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\)≥2
① ⇾ 3+\(\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}\) ≥ 3+2+2+2=9

Donc:
\((x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})≥9\)

Faire plus d'exercices

Olympiade de Maths, c'est une gymnastique de l'esprit,

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