Olympiade Math - Algèbre 02 - Ex 28

Olympiade de Mathématique

( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)

Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.

Olympiade Math - Algèbre 02 - Exercice 28
  a,b,c des réels strictement positifs.
Tel que a+b+c=6.

Montrer que:

(a+a/b)² + (b+b/c)²+ (c+c/a)² ≥ 27

Voir solution

* on a:
d'une part:

(x²+y²) - (x+y)²/2 =(x-y)² / 2
x²+y² ≥ (x+y)² / 2
 de la même méthode on montre que:
x²+y²+z² ≥ (x+y+z)² / 3 ( la différence) ①

* on prend:
x=a+1/a,y=b+1/b et z=c+1/c.
①↴
 (a+a/b)² + (b+b/c)² + (c+c/a)² ≥ (a+b+c+a/b+b/c+c/a)² / 3
on a: a+b+c=6.
 (a+a/b)² + (b+b/c)² + (c+c/a)² ≥ (6+a/b+b/c+c/a)² / 3 ⓐ

d'autre part:
montrons que: a/b+b/c+c/a ≥ 3

on suppose que x,y,z réels strictement positifs.
on a: x³+y³+z³-3xyz=(x+y+z)(x²+y²+z²-xy-yz-zx)

or ona
x²+y²≥2xy, x²+z²≥2xz, y²+z²≥2yz
➝ x²+y²+z²≥xy+yz+zx
d'ou x³+y³+z³≥3xyz ②

on pose alors:
x³=a/b, y³=b/c, y³=c/a
➝ x³y³z³=1
➝ xyz=1 

②↴

a/b+b/c+c/a ≥ 3

ⓐ↴
 (a+a/b)² + (b+b/c)² + (c+c/a)² ≥ (6+a/b+b/c+c/a)² / 3

(a+a/b)² + (b+b/c)² + (c+c/a)² ≥ (6+3)² / 3

Donc:
(a+a/b)² + (b+b/c)²+ (c+c/a)² ≥ 27

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