Olympiade de Mathématiques
( compétition de mathématiques destinée aux élèves des lycées et collèges)
▶️ Olympiade Mathématiques - Algèbre Niv 01 - Ex 11x,y,z trois nombres réels strictement positifs
1- Montrer que
2- en déduire que
solution:
∸∸∸
1- on a (x-y)²≥ 0
⇾ x²+y²≥2xy ⇾ (x+y)²≥4xy & x,y ≥0
(x+y) / xy ≥ 4/(x+y)
▶️ 1/x + 1/y ≥ 4 / (x+x)
∸∸∸
2- on pose X=2x & Y=2y ( d’après question 1 )
⇾ 1/2x + 1/2y ≥ 4 / (2x+2y)
⇾ 1/2x + 1/2y ≥ 2 / (x+y)①
de même pour
⇾ 1/2x + 1/2z ≥ 2 / (x+z) ②
⇾ 1/2y + 1/2z ≥ 2 / (y+z) ③
1- on a (x-y)²≥ 0
⇾ x²+y²≥2xy ⇾ (x+y)²≥4xy & x,y ≥0
(x+y) / xy ≥ 4/(x+y)
▶️ 1/x + 1/y ≥ 4 / (x+x)
∸∸∸
2- on pose X=2x & Y=2y ( d’après question 1 )
⇾ 1/2x + 1/2y ≥ 4 / (2x+2y)
⇾ 1/2x + 1/2y ≥ 2 / (x+y)①
de même pour
⇾ 1/2x + 1/2z ≥ 2 / (x+z) ②
⇾ 1/2y + 1/2z ≥ 2 / (y+z) ③
①+②+③
▶️ 1/2x+1/2y +1/2z ≥ 1/(x+y)+1/(x+z)+1/(y+z)
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easy
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