Sujet Bac Ancien Exercices Nombres complexes PDF terminale S n° 2

Sujet Bac Ancien Exercices Nombres complexes PDF terminale S

📑 Japon 1997 

On considère le plan complexe \(P\)

muni d'un repere orthonormal direct 

\((O;\vec{e}_{t}, \vec{e}_{2})\).

Soit le polynôme \(P\) tel que pour tout \(z\) de ℂ.

\(P(z)=z^{3}-4 z^{2}+6 z-4\)

1). Déterminer les réels u et v tels que: \(P(z)=(z-2)(z^{2}+u z+v)\)

et résoudre dans ℂ l'équation P(z)=0.

2). On note α la solution de l'équation ci-dessus dont la partie imaginaire est strictement positive et β le conjugué de α.

Soient A, B et C les points d'affixes respectives α, β et 2, I le milieu de [AB] 

et \(r\) la rotation de centre O et d'angle \(\frac{π }{2}\). 

Déterminer l'affixe du point \(r(B)\) et en déduire la nature du quadrilatère OACB.

3. Soit \(f\) l'application de \(P\) privé du point C dans \(P\) 

qui au point \(M\) d'affixe \(z(z≠2\)) associe le point \(M '\) d'affixe \(z '\)

défini par: \(z '=\frac{z-(1+i)}{z-2}\).

a) Déterminer \(f(A)\) et \(f(B)\) Déterminer le point E tel que f(E)=C.

b) Quelles distances représentent les réels \(|z-(1+i)|\) et \(|z-2| ?\).

En déduire que si \(M\) appartient à la médiatrice de [AC],

\(M '\) appartient à un cercle dont on donnera le centre et le rayon.

📑 La Réunion 1996 

1. Résoudre dans l'ensemble ℂ des nombres complexes les équations suivantes:

a) \(z^{2}-2 z+5=0\).

b) \(z^{2}-2(1+\sqrt{3}) z+5+2 \sqrt{3}=0\).

2. On considère dans le plan complexe 

rapporté à un repère orthonormal direct \((O, \vec{u}, \vec{v})\) 

les points A, B,C, D d'affixes respectives:

\(z_{A}=1+2 i, z_{B}=1+\sqrt{3}+i, z_{C}=1+\sqrt{3}-i\), et \(z_{D}=1-2 i\)

a) Placer les points A,B,C,D et préciser la nature du quadrilatère ABCD.

b) Vérifier que

\(\frac{z_{D}-z_{B}}{z_{A}-z_{B}}=i \sqrt{3}\)

Que peut-on en déduire pour les droites \((A B)\) et \((B D) ?\)

c) Prouver que les points A,B,C,D appartiennent à un meme cercle \(\Gamma\) 

dont on précisera le centre et le rayon. Tracer \(\Gamma\).

3. On considère l'équation:

\(z^{2}-2(1+2cos(Ө)z+5+4cos(Ө)=0\)

où Ө désigne un nombre réel quelconque.

a. Résoudre l'équation (1) dans C.

b. Montrer que les images des solutions appartiennent au cercle \(\Gamma\).

📑Nouvelle Calédonie 1996 

Le plan complexe \(P\) est rapporté à un repère orthonormal direct 

\((O, \vec{u}, \vec{v})\) (unité graphique: 2cm). 

On désigne par A et B les points d'affixes respectives 1 et 4. 

L'application \(f\) associe à tout point \(M\) d'affixe \(z\) de \(P\), distinct de \({A}\),

le point \({M}\) d'affixe \(Z\) définie par: \(Z=\frac{z-4}{z-1}\).

Soit C le point d'affixe \(i \sqrt{2}\).

Déterminer l'affixe de C '=f(C).

2. Démontrer que \(f\) admet deux points invariants I et J. 

(On notera I celui d'ordonnée positive.) Placer les points I, J, C et C'.

3. On pose \(z=x+i y\) et \(Z=X+i Y\) avec \(x, y, X,Y\) réels.

(a) Déterminer X et Y en fonction de x et y.

(b) Déterminer l'ensemble E des points M d'affixe \(z\) tels que \(Z\) soit réel.

(c) Déterminer et construire l'ensemble \(F\) des points \(M\) d'affixe \(z\)

tels que \(Z\) soit imaginaire pur.

4. Donner une interprétation géométrique de \(|Z|,|z-4|,|z-1|\). 

En déduire l'ensemble D des points M d'affixe \(z\) tels que \(|Z|=1\) Construire D.

📑Sportifs de haut niveau 1996 

1. a) 

i. Résoudre dans C l'équation suivante:

\(z^{2}-6 \cos (\frac{π }{6}) z+9=0\)

On notera \(z_{1}\) et \(z_{2}\) les solutions trouvées, 

\(z_{1}\) étant la solution de partie imaginaire positive.

ii. Déterminer le module et un argument de \(z_{1}\) et de \(z_{2}\), 

et donner l'écriture exponentielle de \(z_{1}\) et de \(z_{2}\)

b) Placer dans le plan \(P\) rapporté à un repère orthonormal direct 

\((0 ; \vec{u}, \vec{v})\) d'unité graphique 1cm, 

les images \(M_{1}\) et \(M_{2}\) de \(z_{1}\) et \(z_{2}\). 

Expliquer pourquoi \(M_{1}\) et \(M_{2}\) sont situés sur le cercle \(\Gamma\) 

de centre O de rayon 3, que l'on tracera.

2. On considère la transformation du plan \(P\) 

qui a tout point \(M\) d'affixe \(z\) associe le point \(M '\) d'affixe \(z '\) 

tel que: \(z '=(-\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}) z\)

On considère les points \(A et \(B d'affixes

\(z_{A}=3 e^{i \bar{t}}\) et \(z_{B}=3 e^{-i \frac{z}{6}}\)

et A' et B' leurs images par \(f\).

(a) Montrer que \(f\) est une rotation dont on précisera le centre et l'angle.

(b) Déterminer sous forme exponentielle

 les affixes \(z_{A '}\) et \(z_{B '}\) des points A' et B'. 

Placer les points A, B, A' et B ' sur la figure.

Expliquer pourquoi ces points sont sur le cercle \(\Gamma\).

3. Calculer arg\((\frac{z_{A}}{z_{B}})\) 

et montrer que B et A' sont symétriques par rapport au point O. 

En déduire que le triangle ABA' est rectangle.

📑 La Réunion 1995 

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé

\((O, \vec{u}, \vec{v})\); (unité graphique 4cm)

On appelle A et B les points d'affixes respectives i et - i. 

A tout point M du plan d'affixe \(z\) differente de \(-i\), on associe le point \({M}\) ' 

dont l'affixe \(z '\) est definie par: \(z '=\frac{z-i}{z+i}\)

1. Calculer l'affixe \(z '\) du point \(M\) associé au point \(M\) d'affixe \(z=2+i .\) 

Préciser le module et un argument de \(z ' .\) 

Placer les points \({M}\) et \({M} '\) dans le repère \((O, \vec{u}, \vec{v})\).

2. Dans cette question, M est un point quelconque du plan distinct de B.

Montrer que \(OM '=\frac{MA}{MB}\). 

En déduire que, lorsque \(z\) est un réel, M appartient à un cercle que l'on précisera.

3. Dans cette question, M est un point quelconque du plan distinct de B. 

Aux points \(M_{1}, M_{2}\) et \(M_{3}\) d'affixes respectives \(z=\bar{z},\) 

(où \(\bar{z}\) désigne le nombre conjugué de \(z\) ), \(z_{2}=-z=\) et \(z_{3}=\frac{1}{z},\) 

on associe les points \(M_{1} ', M_{2} '\) et \(M_{3} '\) d'affixe \(z_{1} ', z_{2} '\) et \(z_{3} '\)

a) Montrer les relations: \(z_{1} '=\frac{1}{z_{1} '}, z_{2} '=\frac{1}{z}\) et \(z_{3} '=-\frac{1}{z}\)

Exprimer les modules et arguments de \(z_{1} ', z_{2} '\) et \(z_{3} '\) en fonction du module

et d'un argument de \(z '\).

(b) En utilisant ce qui précède, placer les points \(M_{1}, M_{2}, M_{3}, M_{1} ', M_{2} '\) 

et \(M_{3} '\) sur la même figure qu'au 1. dans le cas où \(z=2+i\).

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Sujet Bac Ancien Nombres complexes 2

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