Examen Bac 2 Physique chimie Math 2020 Normale

Examen Bac 2 Physique chimie Math 2020 Normale

- 7 Juliette 2020 - 

Duré de l’épreuve: 3 heures
Exercice 1:  Suites numériques  (4 points) 

Exercice 2:  Nombres complexes (5 points)
Exercice 3:  Limites, dérivabilité et calcul intégral  (4 points)
Problème: Etude d'une fonction numérique  (7 points)

* Exercice 1:  Suites numériques  (4 points) *

Soit

\((u_{n})\) Une suite numérique définie par:

 \(u_{0}=\frac{3}{2}\) et \(u_{n+1}=\frac{2 u_{n}}{2 u_{n}+5}\) pour tout n de IN
1) Calculer \(u_{1}\). (0.25)
2) Montrer par récurrence que pour tout n de IN: \(u_{n}>0\). (0.5)
3) a) Montrer que pour tout n de IN: 

\(0<u_{n+1} ≤\frac{2}{5} u_{n}\)
puis en déduire que pour tout n de IN:

\(0<u_{n} ≤ \frac{3}{2}(\frac{2}{5})^{n}\). (1)

b) Calculer \(lim_{n➝+∞}u_{n}\). (0.5)

4) On considère la suite numérique \((v_{n})\) définie par:

 \(v_{n}=\frac{4 u_{n}}{2 u_{n}+3}\) pour tout n de IN

a) Montrer que:

\((v_{n})\) est une suite géométrique de raison \(\frac{2}{5}\). (0.75)
b) Déterminer  \((v_{n})\) en fonction de n 

et en déduire \(u_{n}\) en fonction de n pour tout n de IN. (1)

* Exercice 2:  Nombres complexes (5 points) *

1) Dans I'ensemble ℂ des nombres complexes, on considère 1'équation:

\((E): z^{2}-2(\sqrt{2}+\sqrt{6}) z+16=0\)

a) Vérifier que le discriminant de l'équation (E) est \(Δ=-4(\sqrt{6}-\sqrt{2})^{2}\). (0.5)

b) En déduire les solutions de l'équation (E). (1)

2) Soient les nombres complexes: 

\(a=(\sqrt{6}+\sqrt{2})+i(\sqrt{6}-\sqrt{2})\), \(b=1+i \sqrt{3}\)

et \(c=\sqrt{2}+i \sqrt{2}\)

a) Vérifier que \(b\bar{c}=a\) puis en déduire que \(ac=4b\). (0.75)

b) Ecrire les nombres complexes b et c sous forme trigonométrique. (0.5)

c) En déduire que \(a=4(cos\frac{π}{12}+isin\frac{π}{12})\). (0.5)

3) Dans le plan complexe rapporté à un repère

orthonormé direct \((O, \vec{u}, \vec{v})\) 

on considère les points B,C et D d'affixes respectives b,c et d 

telle que \(d=a^{4}\). 

Soient \(z\) d'affixe d' un point \(M\) du plan 

et \(z '\) l'affixe de \(M '\) image de \(M\) par la rotation \(R\)

de centre O et d'angle \(\frac{π}{12}\)

a) Vérifier que \(z '=\frac{1}{4} a z\). (0.75)

b) Déterminer l'image du point C par la rotation \(R\). (0.25)

c) Déterminer la nature du triangle OBC. (0.25)

d. Montrer que \(a^{4}=128b\)

et en déduire que les points O,B et D sont alignés. (0.75)

* Exercice 3:  Limites, dérivabilité et calcul intégral  (4 points) *

On considère la fonction numérique \(g\) définie sur ]0,+∞[ par:

\(g(x)=2 \sqrt{x}-2-lnx\)

1)a) Montrer  que pour tout x de ]0,+∞[: g '(x)=\(\frac{\sqrt{x}-1}{x}\). (0.5)

b) Montrer que \(g\) est croissante sur [1,+∞]. (0.5)

c) en déduire que pour tout x de [1,+∞[: 0 ≤ ln x ≤ 2\(\sqrt{x}\)

(Remarquer que \(2\sqrt{x}-2 ≤ 2\sqrt{x}\)). (0.5)

d) Montrer que pour tout x de [1,+∞[: \(0 ≤ \frac{(ln x)^{3}}{x^{2}}≤ \frac{8}{\sqrt{x}}\)

et en déduire \(\lim_{x➝+∞}\frac{(ln x)^{3}}{x^{2}}\). (1)

2) a) Montrer que la fonction

 G: x➝ \(x(-1+\frac{4}{3}\sqrt{x}-ln x)\) est une primitive de  \(g\) sur ]0,+∞[. (0.75)

b) Calculer l'intégrale \(\int_{1}^{4} g(x) dx\). (0.75)

* Problème: Etude d'une fonction numérique  (7 points) *

On considére la fonction numérique \(f\) définie sur IR par:

\(f(x)=-x+\frac{5}{2}-\frac{1}{2} e^{x-2}(e^{x-2}-4)\)

et \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé

 \((O,\vec{i};\vec{j})\) (unité: 2cm )

1) Montrer que:

 \(\lim_{x➝-∞} f(x)=+∞\) et \(\lim _{x➝+∞} f(x)=-∞\). (0.5)

2) a) Démontrer que la droite (Δ) d'équation:

\(y=-x+\frac{5}{2}\) est une asymptote à la courbe \((C)\) au voisinage de -∞. (0.5)

b) Résoudre l'équation \(e^{x-2}-4=0\)

puis montrer que:

la courbe \((C)\) est au dessus de (Δ) sur l'intervalle \(]-∞,2+ln4]\) 

et en dessous de (Δ) sur l'intervalle \([2+ln 4,+∞[\). (0.75)

3) Montrer que: \(\lim _{x➝+∞} \frac{f(x)}{x}=-∞\)

puis interpréter géométriquement le résultat. (0.5)

4) a) Montrer que pour tout x\de IR: \(f '(x)=-(e^{x-2}-1)^{2}\). (0.5)

b) Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\). (0.25)

5) Calculer \(f " (x)\) pour tout \(x\) de IR.

puis montrer que A(2,2)  est un point d'inflexion de \((C)\). (0.75)

6) Montrer que l'équation \(f(x)=0\) admet une solution unique α

telle que: 2+ln3<α<2+ln4. (0.5)

7) Construire(Δ) et \((C)\) dans le même repère \((O,\vec{i};\vec{j})\)

(on prend ln2≃0,7 et ln 3≃1,1). (1)

8) a) Montrer que:

la fonction \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) définie sur IR. (0.5)
b) Construire dans le môme repère \((O,\vec{i};\vec{j})\)
la courbe représentative de la fonction \(f^{-1}\). (0.75)