Trigonométrie en ⑨ étapes
1- Le cercle trigonométrique:
Rayon r=1.
Sens de lecture est l’inverse du sens des aiguilles d’une montre.
Angles remarquables sont marqués de 0 à 2π (en radian) et de 0° à 360°.
Le point M a pour coordonnées (cos x, sin x).
La droite (OM) coupe la droite d’équation (x = 1) en T.
l’ordonnée du point T est tanx= sinx / cosx
2- valeur usuel trigonométrie:
3- Les formules de base :
Angles remarquables sont marqués de 0 à 2π (en radian) et de 0° à 360°.
Le point M a pour coordonnées (cos x, sin x).
La droite (OM) coupe la droite d’équation (x = 1) en T.
l’ordonnée du point T est tanx= sinx / cosx
2- valeur usuel trigonométrie:
3- Les formules de base :
cos(x+2π) = cos x (cos(x+2kπ) = cos x / k∊Z)
sin(x+2kπ) = sin x (sin(x+2kπ) = sin x / k∊Z)
* Relations entre cosinus, sinus et tangente
cos²x + sin²x = 1
1+tan²x = 1/cos²x
* Angles associés:
cos(-x) = cosx | sin(-x) = -sinx
cos(π-x) = -cos x | sin(π-x) = sin x
cos(π+x) = -cos x | sin(π+x) = -sin x
cos(π/2-x) = sin x | sin(π/2-x)=cos(x)
cos(π/2+x) = -sin x | sin(π/2+x)=cos(x)
Exemples:
Simplifier les expressions suivantes :
A=cosx྾sinx྾(tanx+tan(π/2-x)).
B=sin(17π-x)+cos(9π+x)+cos(2020π+x)+sin(2019π/2-x).
C=sin²(π/8)+sin²(3π/8)+sin²(5π/8)+sin²(7π/8).
D=tan(π/5)+tan(2π/5)+tan(3π/5)+tan(4π/5).
* Angles associés:
cos(-x) = cosx | sin(-x) = -sinx
cos(π-x) = -cos x | sin(π-x) = sin x
cos(π+x) = -cos x | sin(π+x) = -sin x
cos(π/2-x) = sin x | sin(π/2-x)=cos(x)
cos(π/2+x) = -sin x | sin(π/2+x)=cos(x)
Exemples:
Simplifier les expressions suivantes :
A=cosx྾sinx྾(tanx+tan(π/2-x)).
B=sin(17π-x)+cos(9π+x)+cos(2020π+x)+sin(2019π/2-x).
C=sin²(π/8)+sin²(3π/8)+sin²(5π/8)+sin²(7π/8).
D=tan(π/5)+tan(2π/5)+tan(3π/5)+tan(4π/5).
Résoudre dans R les équations suivantes :
cos(x)=-1/2.
cos(x)=-1/2.
sin(2x+π/3)=-1.
cos(3x-π/6)=0.
tan(2x)=0.
cos(x)>1/2 et I=[0;2π].
sin(x)≤ -1/2 et I=[-π;π].
tan(x)≥1 et I=]-π/2;π/2].
sin(x)+cos(x)≥2. et I=]-π;π].
4- Formules d'addition:
Exemples:
Le plan P est rapporté à un repère orthonormé direct(0;i;j)
Exemples:
Le plan P est rapporté à un repère orthonormé direct(0;i;j)
et C est le cercle trigonométrique qui lui est associé.
Soit a et b deux nombres réels.
On considère les points A et B du cercle voir figure suivante:
les coordonnées du point A: A( cos(a) ; sin(a) )
les coordonnées du point B: B( cos(b) ; sin(b) )
calculons le produit scalaire de deux façons différentes:
on a OA=OB=1.
on a OA=OB=1.
l'expression analytique du produit scalaire:
donc:
cos(a+b) = cosa྾cosb - sina྾sinb
cos(a-b) = cosa྾cosb + sina྾sinb
sin(a+b) = sina྾cos b + sinb྾cosacos(a+b) = cosa྾cosb - sina྾sinb
cos(a-b) = cosa྾cosb + sina྾sinb
sin(a-b) = sina྾cos b + sinb྾cosa
tan(a+b) = (tan a + tan b) / (1- tan a྾tan b)
tan(a-b) = (tan a - tan b) / (1+ tan a྾tan b)
démonstration pour les autres formules (changement de variable)
* Calcule de cos(π/12):
cos(π/12)= cos(π/4-π/6)
cos(π/12)=cos(π/4)྾cos(π/6) + sin(π/4)྾sin(π/6)
* Calcule de sin(π/12):
sin(π/12)= sin(π/4-π/6)
sin(π/12)=sin(π/4)྾cos(π/6) - cos(π/4)྾sin(π/6)
on a: cos(a+b) = cosa྾cosb - sina྾sinb
on pose a=b
* Formules d’angle double.
cos(2a) = cos²a - sin²a= 2cos²a - 1 = 1 - 2sin²a.
sin(2a) = 2 sin(a) cos(a).
tan(2a)= 2 tan(a) / (1-tan²(a)).
* Formules du demi-angle. (x=2a)
cos(x) = cos²x/2 - sin²x/2= 2cos²x/2 - 1 = 1 - 2sin²x/2.
sin(x) = 2 sin(x/2) cos(x/2).
tan(x)= 2 tan(x/2) / (1-tan²(x/2)). ①
sin(x) = 2 sin(x/2) cos(x/2).
tan(x)= 2 tan(x/2) / (1-tan²(x/2)). ①
* Calcule de cos(π/8):
cos(π/4)=cos(2྾π/8)=2cos²(π/8)-1.
cos²(π/8)=(1+cos(π/4)) / 2.
0< π/8 <π/2 ➝ cos(π/8) > 0.
0< π/8 <π/2 ➝ cos(π/8) > 0.
6- Utilisation de la tangente de l'angle moitié (t=tan(x/2)):
pour tan(x) avec x≠π/2+kπ et x≠π+2kπ:
On pose t= tan(x/2)
après ①:
tan(x)= 2t / 1-t².
pour cos(x):
cos(x)=2cos²(x/2)-1 et cos²(x/2)=1/(1+tan²(x/2))
cos(x)=2/(1+t²) -1 = (1-t²)/(1+t²)
pour cos(x):
sin(x)=cos(x)྾tan(x)=2t/(1+t²)
Donc: ∀ x≠π/2+kπ et x≠π+2kπ
cos(x)=(1-t²)/(1+t²).
sin(x)=2t/(1+t²).
tan(x)= 2t/1-t².
7- Transformation de somme en produit:
8- Transformation de produit en somme:
9- Transformation de l’expression a cos(x) + b sin(x):
Exercices d'application: Trigonométrie
Exercices d'entraînement: Trigonométrie
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