Cours Complet Suites Numériques

Cours Complet Suites Numériques

- Suites arithmétiques 

- Suites géométriques 

- Suites du type $u_{n+1}=f(n)$

- Suites définies par des sommes

- Suites du type $u_{n+1}=f(u_n)$

- Suites homographiques

- Suites adjacentes

-Suites du type $u_{n+1}=(a{u}_n+b{u}_{n-1})$

- Suites définies a l'aide d'intégrales

- Suites extraites

- Suites de nombres complexes

 🅐 Définition  

Une suite $(u_n)$ est une application de l’ensemble I ⊂ℕ ⟶ ℝ
qui à chaque élément n de I associe un unique élément noté $u_n$
appelé terme d’indice n de la suite $(u_n)$.
Exemple:
n∈IN*: $u_n=n²+2n+5$.
n≥5 :$u_{n+1}=u_n-5$.

 🅑 Suite croissante / décroissante / stationnaire  
La suite $(u_n)$ est croissante ⇔ $u_{n+1}\ge u_n$.
La suite $(u_n)$ est décroissante ⇔ $u_{n+1}\le u_n$.
La suite $(u_n)$ est monotone si elle est croissante ou décroissante.
Une suite  $(u_n)$ est stationnaire 

s'il existe un rang  $n_0$ à partir du quel tous les termes de la suite sont égaux.

$\exists n_0\in IN$, $\forall n\ge n_0\Rightarrow u_{n+1}=u_n$.

Méthodes pour étudier la monotonie d'une suite 
1- $(u_n)$ est croissante si et seulement si $u_{n+1}-u_n\ge 0$.
2- on suppose que $(u_n)$ est à termes positifs;
$(u_n)$est croissante si et seulement si $\frac{u_n+1}{u_n}\ge 1$.
3- on suppose qu'il existe une fonction f croissante sur IR+ tel que:
$u_{n+1}=f(u_n)$ alors $(u_n)$ est croissante.
Exemple:
* $u_n=1+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{n^2}$.
$u_{n+1}-u_n=\frac{1}{(n+1{)}^2}\ge 0$.
⇒ $(u_n)$ est croissante.
* $u_n=\frac{5^n}{n!}$.
$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{5}{n+1}\ge 1$
⇒ $(u_n)$ est croissante.
* $u_n=\frac{2n+5}{n+3}$.
$f(x)=\frac{2x+5}{x+3}$.
$f^{\prime }(x)=\frac{6}{(x+3{)}^2}>0$; f est croissante sur IR+.
⇒ $(u_n)$ est croissante.

Exercice:

Étudier le sens de variation des suites $u_n$ définies sur IN* on pourra, selon le cas:

soit raisonner par récurrence, 

soit étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$, 

soit étudier le signe de $1-\frac{u_{n+1}}{u_n}$ (suites à termes strictement positifs), 

soit étudier la fonction $f$ telle que $u_n=f(n)$

a) $u_n=\frac{n}{n+1}$

b) $u_n=\frac{e^n}{n!}$

c) $u_n=\frac{3n-1}{2n-1}$

d) \(u_{n}=\sqrt[n]{n}\)

e) $u_n=n^2-2^n$

f) $u_n=n-\ln (1+n)$

g) $u_n=\frac{1\times 3\times ...\times (2n-1)}{2\times 4\times ...\times 2n}$

h) $u_n=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-...+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}$

 🅒 Raisonnement par récurrence 

Soit P(n) une proposition qui dépend d'un entier naturel n. 
Si P(n₀​​) est vraie (initialisation) 
Et si P(n) vraie entraîne P(n+1) vraie (hérédité)
alors la propriété P(n) est vraie pour tout entier n⩾n₀​​.

Exemple:

Démontrer par récurrence:

P(n): $1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

* Initialisation: pour n=1 

$1^2=\frac{1(1+1)(2.1+1)}{6}$=1 

⇒P(1​​) est vraie

* Hérédité: On suppose que p(n) est vraie.

$1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

* Montrons que p(n+1) est vraie.

p(n+1)⇔ $1^2+2^2+...+(n+1{)}^2=\frac{(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)}{6}$

⇔ $1^2+2^2+...+(n+1{)}^2=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$.

Soit n∈IN:

 $1^2+2^2+...+n^2+(n+1{)}^2$.

d’après hérédité

=$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1{)}^2$.

=$\frac{(n+1)[n(2n+1)+6(n+1)]}{6}$.

=$\frac{(n+1)[2n²+7n+6)]}{6}$.

=$\frac{(n+1)[2n²+4n+3n+6)]}{6}$.

=$\frac{(n+1)[2n(n+2)+3(n+2))]}{6}$.

=$\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$.

Donc: P(n): $1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

Exercice:
Démontrer par récurrence les propriétés suivantes :
1) $1^3+2^3+3^3+...+n^3=\frac{n^2(n+1{)}^2}{4}$
2)$S_n=1^3+3^3+5^3+...+(2n-1{)}^3=2n^4-n^2$.

3) ∀ n ≥ 4:  $2^n\le n!$.

4) ∀ n ≥ 5:  $3^n>n^3$.

5) ∀ n ≥ 7:  $3^n<n!$.

 🅓   Majorée /Minorée / Bornée   
une suite $(u_n)$ est majorée par un réel M si ∀ n∊ℕ $u_n\le M$.
une suite$(u_n)$ est minorée par un réel m si ∀ n∊ℕ $u_n\ge m$.
une suite $(u_n)$ est bornée, si elle est à la fois majorée et minorée.
Ceci équivaut au fait qu’il existe deux réels m et M
tels que: ∀ n∊ℕ $m\le u_n\le M$.

Exercice:
① La suite $u$ est définie par:

$\{\begin{array}{l}{u}_0=-2\\ u_{n+1}=1+\frac{1}{u_n}\end{array}$

a) Démontrer par récurrence que la suite $u$ est minorée par $\frac{3}{2}$ et majorée par 2 .

② La suite $u_n$ est définie par:

$\{\begin{array}{l}{u}_0=-2\\ u_{n+1}=\frac{9}{6-u_n}\end{array}$

a) Démontrer par récurrence que : pour tout nombre entier naturel $n,u_n<3$.

b) Étudier le sens de variation de la suite $u_n$.

 🅔 Suite Périodique 

Une suite périodique s'il existe un entier naturel non nul p tel que:

$u_n=u_p$. p est appelé une période de $(u_n)$.

Exemple:
$u_n=Sin(\frac{n\pi }{3})$
$u_{n+6}=Sin(\frac{(n+6)\pi }{3})=Sin(\frac{n\pi }{3}+2\pi )$
⇒ $u_{n+6}=u_n$.
⇒ $(u_n)$ est périodique de période p=6.

 🅗 Suite convergente / divergente 

Une suite $(u_n)$ a pour limite un nombre $l$∈IR.
lorsque les nombres $u_n$ se rapprochent indéfiniment de $l$ pour des entiers n de plus en plus grands.
On dit alors que la suite$(u_n)$ converge vers $l$ (convergente de limite $l$ ).
Ceci se note par: $\underset{n⟶+\infty }{lim}{u}_n=l$.
* Toute suite croissante et majorée est convergente.
* Toute suite décroissante et minorée est convergente.
* Composition de limites 

① f est une fonction définie sur I, 

(u_n) une suite d'éléments de I. 

Soit a et l des réels. 

Si $\underset{n⟶+\infty }{lim}{u}_n=a$ et $\underset{x⟶a}{lim}f(x)=l$ 

alors $\underset{n⟶+\infty }{lim}f(u_n)=l$ .

Exemple : 

Soit le suite (u_n).

définie pour tout entier n par : $v_n=\frac{2n²+3}{n²+2}$

On a : $\underset{n⟶+\infty }{lim}{v}_n=2$.

$v_n=f(u_n)$
avec $f(x)=\frac{2x+3}{x+2}$ et $u_n=n^2$

② f est une fonction définie sur I, 

(u_n) une suite d'éléments de I. 

Si $\underset{n⟶+\infty }{lim}{u}_n=+\infty$ et $\underset{x⟶+\infty }{lim}f(x)=+\infty$ 

alors $\underset{n⟶+\infty }{lim}{u}_n=+\infty$.

Exemple : Soit le suite (u_n).

définie pour tout entier n par : $u_n=\frac{n²+1}{n+2}$

On a : $\underset{n⟶+\infty }{lim}{u}_n=+\infty$ .

③ Si deux suites convergentes (u_n) et (v_n) 

telles que, à partir d'un certain indice, u_n>v_n

 alors  $\underset{n⟶+\infty }{lim}{u}_n\ge \underset{n⟶+\infty }{lim}{v}_n$.

Exemple : 

① Soit le suite (u_n).

définie pour tout entier n par : $u_n=\frac{1}{n}+n$

$u_n\ge n$ et $\underset{n⟶+\infty }{lim}n=+\infty$ .

On a : $\underset{n⟶+\infty }{lim}{u}_n=+\infty$ .

② Soit le suite (u_n).

définie pour tout entier n par : $u_n=-1-n²$

$u_n\le -2n$ car (-1-n²-(-2n)=-(n-1)²)) et $\underset{n⟶+\infty }{lim}-2n=-\infty$ .

On a : $\underset{n⟶+\infty }{lim}{u}_n=-\infty$ .

④ passage à la limite dans les inégalités larges.

$(u_n),(v_n)et(w_n)$ trois suites telles que : $v_n\le u_n\le w_n$ (∀n⩾n₀​​).
et si: $\underset{n⟶+\infty }{lim}{v}_n=w_n=l$ alors on a : $\underset{n⟶+\infty }{lim}{u}_n=l$.

Exemple : 

1- Soit le suite $(u_n)$.
tel que pour tout entier n on a:
$|u_n-2|\le \frac{1}{n}$
⇒ $2-frac1n\le u_n-2\le 2+\frac{1}{n}$
on a: $\underset{n⟶+\infty }{lim}2-\frac{1}{n}=2$ et $\underset{n⟶+\infty }{lim}2+\frac{1}{n}=2$
donc $\underset{n⟶+\infty }{lim}{u}_n=2$.

⑤ Limite de la suite géométrique $q^n$
Si q>1 alors $\underset{n⟶+\infty }{lim}{q}^n=+\infty$
Si q =1 alors$\underset{n⟶+\infty }{lim}{q}^n=1$
Si −1< q<1 alors $\underset{n⟶+\infty }{lim}{q}^n=0$
Si q≤ −1 alors $q^n$ n’a pas de limite.

⑥ Limite de la suite $n^a$
Si a>0 alors $\underset{n⟶+\infty }{lim}{n}^a=+\infty$
Si a<0 alors $\underset{n⟶+\infty }{lim}{n}^a=0$

  Exemples de suites numériques 

 ① Suites arithmétiques 

Définition
Une suite $u_n$ est arithmétique s'il existe un réel r tel que $u_{n+1}=u_n+r$.
Le réel r est appelé la raison de la suite. 

Exemple: $u_n=3n+2$ : n∈ℕ

$u_{n+1}-u_n=3(n+1)+2-3n-2=3\in ℝ$.

$(u_n{)}_{n⩾n₀}$ est une suite arithmétique

de raison 3∈ℝ et son premier terme $u_0=3\times 0+2=2$.

Expression de $u_n$  en fonctions de n (Terme général)

$(u_n{)}_{n⩾n₀}$ est une suite arithmétique de raison r∈ℝ.

 alors: ∀n⩾p⩾n₀, $u_n=u_p+(n-p)\times r$.
pour p=0: $u_n=u_0+n\times r$  avec n⩾0.
pour p=1: $u_n=u_1+(n-1)\times r$  avec n⩾1.
Somme de termes successifs d’une suite arithmétique
$(u_n{)}_{n⩾n₀}$ est une suite arithmétique alors:
 $S_n=u_p+u_{p+1}+....+u_n=\frac{(u_p+u_n)\times (n-p+1)}{2}$.

avec n⩾p⩾n₀,
$S_n=\frac{((1erterme+dernierterme)\times (nbredetermes)}{2}$
(nbre de termes=der-Pre+1=n-p+1)
pour p=0: $S_n=u_0+u_{p+1}+....+u_n$.

⇒ $S_n=\frac{(u_0+u_n)\times (n+1)}{2}$.

Exercice:

Soit $u_n$ une suite arithmétique 

de raison $r=6$ et de premier terme $u_1=1$

Calculer n pour que $u_1+u_2+...+u_n=280$

Calculer $u_n$ pour la valeur trouvée de n.

 ② Suite géométrique 

Définition

Une suite (un) est géométrique s'il existe un réel q 

tel que $u_{n+1}=q\times u_n$.

Exemple: $u_n=2^n$ : n∈ℕ

$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{2^{n+1}}{2^n}=2^{n+1-n}=2\in ℝ$.
$(u_n{)}_{n⩾n₀}$ est une suite géométrique 

de raison 2∈ℝ et son premier terme $u_0=2^0=1$.
Expression de un en fonctions de n (Terme général)
$(u_n{)}_{n⩾n₀}$ est une suite géométrique raison q∈ℝ

alors: ∀n⩾p⩾n₀, $u_n=u_p\times q^{(n-p)}$
⇒ pour p=0: $u_n=u_0\times q^n$  avec n⩾0.

⇒ pour p=1: $u_n=u_1\times q^{(n-1)}$ avec n⩾1..

Somme de termes successifs d’une suite géométrique
$(u_n{)}_{n⩾n₀}$ est une suite géométrique alors:
∀n⩾p⩾n₀ $S_n=u_p+u_{p+1}+....+u_p=\frac{1-q^{(n-p+1)}}{1-q}\times u_p$.
$S_n=\frac{1-q^{(nbredetermes)}}{1-q}\times (1erterme)$.
pour p=0: $S_n=\frac{1-q^{(n+1)}}{1-q}\times u_0$.
pour p=1: $S_n=\frac{1-q^n}{1-q}\times u_1$.

Exercice:

① Soit $(u_n)$ une suite arithmétique croissante telle que :

$\{\begin{array}{l}{u}_1+u_2+u_3=9\\ u_1^2+u_2^2+u_3^2=35\end{array}$

1) Calculer le premier terme $u_0$ et la raison r de cette suite, 

puis exprimer le terme général $u_n$ en fonction de n.

2) Soit $(v_n)$ la suite définie par: $v_n=2^{u_n}$

a) Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique 

pour laquelle on déterminera $v_0$ et la raison.

b) Calculer $P_n=v_0\times v_1\times ...\times v_n$.

②On considère deux suites numériques définies par pour tout n de IN:

$u_n=\frac{3^n-6n+4}{3}$ 

et $v_n=\frac{3^n+6n-4}{3}$

1) Soit $a_n=u_n-v_n$

Montrer que la suite de terme général $a_n$ est une suite arithmétique.

Calculer $a_0+a_1+...+a_{10}$

2) Soit $b_n=u_n+v_n$

Montrer que la suite de terme général $b_n$ est une suite géométrique.

Calculer $b_0+b_1+...+b_{10}$

3) En déduire les sommes :

$u_0+u_1+...+u_{10}$.

et $v_0+v_1+...+v_{10}$.

 ③ Suites du type $u_n=f(n)$ 

A toute fonction f définie sur un intervalle de IR, du type ]b;+∞[ , 

on peut associer une suite (un) telle que $u_n=f(n)$  .

- le sens de variation de f implique celui de la suite.
- si f est majorée, minorée, bornée sur ]b;+∞[ , il en est de même de la suite.

- si f a une limite $l$ en +∞, alors la suite a aussi pour limite $l$.

Exemple:

monotonie et limite de:

$u_n=\frac{n}{n²+n}$ avec$f(x)=\frac{x}{x²+x}$ 

$v_n=n-ln(n)$ avec f(x)=x-ln(x).

Exercice:

Étudier le comportement de la suite de terme général $u_n$ quand n tend vers +∞.

1) $u_n=\frac{5n+1}{2n+3}$

2) $u_n=\frac{7n-1}{3n-1}$

3) $u_n=\frac{5n^2+3n+1}{n^2+n+1}$

4) $u_n=\frac{-2n^2+3n+1}{3n^2-n+7}$

5) $u_n=\frac{2n+1}{3n^2+2n+1}$

6) $u_n=\frac{5n^2+3}{2n+1}$

7) $u_n=\frac{4n+(-1{)}^n}{3n+2}$

8) $u_n=\frac{2n^2+(-1{)}^n\cdot n+1}{n^3+1}$

9) $u_n=2n+1-\sqrt{n^2+n+1}$

10) $u_n=n+3-\sqrt{n^2-n+1}$

11) $u_n=\sqrt{2n^2+n+1}-\sqrt{2n^2+5}$

12) $u_n=\frac{1}{\sqrt{n^2-n+1}-\sqrt{n^2+n+1}}$

13) $u_n=\frac{\sqrt{n^2+n}-\sqrt{n^2+1}}{\sqrt{n+1}}$

14) $u_n=\frac{n+1}{\sqrt{n+2}}-\frac{n+1}{\sqrt{n+2}}$

15) $u_n=\frac{n-\sqrt{n^2+1}}{\sqrt{n^2+n+3}}$

16) $u_n=\frac{{10}^n-1}{{10}^n+3}$

 ④ Suites du type $u_{n+1}=f(u_n)$ 

a) Représentation graphique
On trace dans un repère orthonormal, la courbe C de la fonction f.

Le réel $u_0$étant donné, 

- on obtient $u_1=f(u_0)$ 

comme ordonnée du point de (C) d'abscisse $u_0$; 

soit $A_0(u_0,u_1)$ ce point.

On place $u_1$ sur l'axe des abscisses, pour cela, on utilise la droite (Δ) d'équation y = x; 

le point d'intersection de (Δ) et de la droite horizontale  $y=u_1$ a pour abscisse $u_1$: ayant ainsi placé $u_1$ sur l'axe des abscisses.

on obtient $u_2=f(u_1)$ 

de la même manière que  $u_1)$ (voir figure)

et on continue …

Plan d’étude des suites $u_{n+1}=f(u_n)$
Soient $(u_n{)}_{n⩾n₀}$ une suite numérique définie par : $u_{n+1}=f(u_n)$.
les points essentiels de ce qu’il faut faire pour étudier cette suite.
1) il faut trouver un intervalle I = [a, b] (fermé et borné) qui soit stable par f, c’est-à-dire que $f(I)\subset I$.
2) Ensuite vérifier que la fonction f est continue sur I.
3)$(u_n{)}_{n⩾n₀}$ est une suite convergente.
Aors $\underset{n⟶+\infty }{lim}{u}_n=l$ avec $l$ est la solution de l’équation : f (x) = x 

(les points fixes de f ).

Exemple:
f(x)=$\frac{5x-4}{x+1}$ I= [2,5]
$u_{n+1}=f(u_n)$ avec $u_n$ converge. 
Calculer $\underset{n⟶+\infty }{lim}{u}_n$
Ona : 
* f est continue sur [2,5] ①
* f est croissante 

⟶ f(2)=2 et f(5) =$\frac{21}{6}$ 

⟶ $f([2,5])=[2,\frac{21}{6}]$ 

* $f([2,5])\subset [2,5]$ ②
* $u_n$ converge ③
Alors $\underset{n⟶+\infty }{lim}{u}_n=l$ avec f($l$=($l)$ 
résoudre de l’équation : f (x) = x
$\frac{5x-4}{x+1}$=x⟶ 5x-4=x(x+1) ⟶ 5x-4=x²+x
⟶x²-4x+4=0 ⟶ (x-2)²=0 ⟶ x=2.
donc $\underset{n⟶+\infty }{lim}{u}_n=2$.

 ⑤ Suites définies par des sommes 

On pose, pour tout n de IN*:

$u_n=\sum _{k=1}^{k=n}\frac{1}{k²}$ 

- Montrer que  $u_n$ est croissante.
- Montrer que pour k≥2:

$\frac{1}{k²}\le \frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}$ 

- En déduire que $(u_n)$ est majorée par 2.

- Montrer alors la convergence de la suite $u_n$.

 ⑥  Suites homographiques 

$u_{n+1}=\frac{a{u}_n+b}{c{u}_n+d}$  avec ad-bc≠0

Soit f une fonction tel que: f x➝$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$

On montre que :
- Si f(x) = x a deux solutions α et β la suite définie par:

$v_n=\frac{u_n-\beta }{u_n-\alpha }$ est géométrique.

- Si f(x) = x a une solution unique α, la suite définie par:

$v_n=\frac{1}{u_n-\alpha }$ est arithmétique.

Exemple 1. 

Soit la suite (un) définie par $u_0=1$: $u_{n+1}=\frac{u_n+2}{u_n}$ 

On a : (a=1,b=2,c=1,d=0 et ad-bc=-2≠0).

la fonction f: x➝$f(x)=\frac{x+2}{x}$

- Vérifier que α=-1 et β=2 sont les solutions de f(x)=x.
- On pose: $v_n=\frac{u_n-2}{u_n+1}$.

Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique.
- Exprimer $v_n$, puis  $v_n$en fonction de n. 

En déduire $\underset{n⟶+\infty }{lim}{u}_n$.

Exemple 2. 

Soit la suite (un) définie par $u_0=1$: $u_{n+1}=\frac{4u_n-1}{u_n+2}$ 

On a : (a=4,b=-1,c=1,d=2 et ad-bc=9≠0).

la fonction f: x➝$f(x)=\frac{4x-1}{x+2}$

- Vérifier que α=1 l'unique solution de f(x)=x.
- On pose: $v_n=\frac{1}{u_n-1}$.

Démontrer que $(v_n)$ est une suite arithmétique.
- Exprimer $v_n$, puis  $v_n$en fonction de n. 

En déduire $\underset{n⟶+\infty }{lim}{u}_n$.

Exercice:

Une suite $(U_n)$ est définie par son premier terme $U_1=\frac{2}{7}$ 

et par la relation:$U_{n+1}=\frac{U_n}{3-U_n}$

(on admettra que quel que soit n de IN*, $U_n\ne 0$ et $U_n\ne 3$.

1) Calculer $U_2$ et $U_3$ 

2) Soit $(V_n)$ la suite définie par: $V_n=\frac{1}{U_n}$

Calculer $V_1$.

Montrer que pour tout n de IN, $V_{n+1}=3V_n-\frac{1}{2}$

3) Soit $(W_n)$ la suite définie par: $W_n=V_n-\frac{1}{2}$

Déterminer $W_{n+1}$ en fonction de $W_n$ 

et calculer le premier terme $W_n$.

Quelle est la nature de la suite $(W_n)?$

Calculer le terme $W_n$ en fonction de n.

4) En déduire l'expression générale de $U_n$ en fonction de n.

 ⑦  Suites adjacentes 

On dit que deux suites $u_n$ et $v_n$ sont adjacentes lorsque:

* l'une est croissante et l'autre est décroissante 

* la limite $\underset{n⟶+\infty }{lim}{u}_n-v_n=0$

Si deux suites $u_n$ et $v_n$ sont adjacentes alors elles sont convergentes et ont même limite.

Exercice:

On définit les deux suites  $u_n$ et $v_n$ par:

* $u_0=1$ et pour tout n de IN:

$u_{n+1}=\frac{u_n+2v_n}{3}$ 

* $v_0=12$ et pour tout n de IN:

$v_{n+1}=\frac{u_n+3v_n}{4}$ 

- On pose $w_n=v_n-u_n$, pour tout n de IN.

Démontrer que $(w_n)$  est une suite géométrique 

et exprimer $w_n$  en fonction de n.
En déduire la limite de $(w_n)$.
- Démontrer que $u_n$ est croissante et que $v_n$ est décroissante.

Que peut-on conclure sur les suites  $u_n$ et $v_n$.
- On pose  $t_n=3u_n+8v_n$.

Démontrer que: $t_n$ est une suite stationnaire. 

En déduire la limite de $u_n$ et $v_n$.

 ⑧ Suites du type $u_{n+1}=(a{u}_n+b{u}_{n-1})$ 

On résoudre l'équation r²-a r- b=0:

* l'équation r²-a r- b=0 a deux racines distinctes r1 et r2,

les solutions sont de la forme:

$u_n=\alpha r_1^n+\beta r_2^n$ où α et β sont des constantes.

* l'équation r²-a r- b=0  a une racine double r, 

les solutions sont de la forme:

$u_n=(\alpha +\beta n)\times r_2^n$ où α et β sont des constantes.

Exemples : 

 Etudier les suites $u_n$ et $v_n$  définies par :

*$u_n=u_{n-1}+u_{n-2}$ et $u_0=u_n=1$

*$v_{n+1}=2v_n+v_{n-1}$ et $v_0=7$,$v_1=3$

 ⑨ Suites définies a l'aide d'intégrales 

On pose 

$I_0={\int }_1^{e}xdx$ et pour tout n de IN*:

$I_n={\int }_1^{e}xln(x{)}^{n}dx$.

a) Calculer$I_1$ et $I_2$.

b) Pour tout n de IN:

établir la relation de récurrence $2I_n+n{I}_{n-1}=e^2$. 

2) Calculer $I_2$.

3) Montrer que la suite $I_n$ est décroissante.
4) En utilisant la relation de récurrence, montrer l'encadrement:

 $\frac{e²}{n+3}\le I_n\le \frac{e²}{n+2}$. 

5)Calculer $\underset{n⟶+\infty }{lim}{I}_n$  et $\underset{n⟶+\infty }{lim}n{I}_n$ .

 ⑩ Suites extraites 

*Une suite $v_n$ est dite extraite de la suite $u_n$ 

si elle est définie par $v_n=u_{n^{\prime }}$ 

avec n'=g(n) où g est une application croissante de IN dans IN.

*Si la suite  $u_n$ est convergente, toute suite extraite $v_n$ est convergente et a la même limite.

La réciproque de cette propriété est inexacte, c'est-à-dire qu'il existe des suites non convergentes dont on peut extraire des suites convergentes.

Par exemple: 

la suite $u_n=(-1{)}^n$ n'est pas convergente,

alors que les suites extraites:

$v_n=(-1{)}^{2n}$ et $w_n=(-1{)}^{2n+1}$ sont convergentes.

 ⑪ Suites de nombres complexes 

Une suite de nombres complexes est une application de IN dans ℂ.
Le terme général est donc un nombre complexe:

 $u_n=a_n+i{b}_n$.

où $a_n$∈IR ,  $b_n$∈IR. 

Si $\underset{n⟶+\infty }{lim}{a}_n=a$ 

et $\underset{n⟶+\infty }{lim}{b}_n=b$ 

alors la suite $u_n$  est dite convergente.