Cours Complet Suites Numériques

Cours Complet Suites Numériques

- Suites arithmétiques 

- Suites géométriques 

- Suites du type \(u_{n+1}= f(n)\)

- Suites définies par des sommes

- Suites du type \(u_{n+1}= f( u_{n})\)

- Suites homographiques

- Suites adjacentes

-Suites du type \(u_{n+1}=(au_{n}+bu_{n-1})\)

- Suites définies a l'aide d'intégrales

- Suites extraites

- Suites de nombres complexes

 🅐 Définition  

Une suite \((u_{n})\) est une application de l’ensemble I ⊂ℕ ⟶ ℝ
qui à chaque élément n de I associe un unique élément noté \(u_{n}\)
appelé terme d’indice n de la suite \((u_{n})\).
Exemple:
n∈IN*: \(u_{n}=n²+2n+5\).
n≥5 :\(u_{n+1}=u_{n}-5\).

 🅑 Suite croissante / décroissante / stationnaire  
La suite \((u_n)\) est croissante ⇔ \(u_{n+1} ​≥ u_n\).
La suite \((u_n)\) est décroissante ⇔ \(u_{n+1} ​≤ u_n​\).
La suite \((u_n)\) est monotone si elle est croissante ou décroissante.
Une suite  \((u_n)\) est stationnaire 

s'il existe un rang  \(n_0\) à partir du quel tous les termes de la suite sont égaux.

\(∃ n_0∈IN\), \(∀n≥n_0 ⇒ u_{n+1}=u_n​\).

Méthodes pour étudier la monotonie d'une suite 
1- \((u_n)\) est croissante si et seulement si \(u_{n+1}-u_n ≥0 \).
2- on suppose que \((u_n)\) est à termes positifs;
\((u_n)\)est croissante si et seulement si \(\frac{u_n+1}{u_n} ≥1 \).
3- on suppose qu'il existe une fonction f croissante sur IR+ tel que:
\(u_{n+1}=f(u_n)\) alors \((u_n)\) est croissante.
Exemple:
* \(u_{n}=1+\frac{1}{2^{2}}+...+\frac{1}{n^{2}}\).
\(u_{n+1}-u_{n}=\frac{1}{(n+1)^{2}}≥ 0\).
⇒ \((u_n)\) est croissante.
* \(u_{n}=\frac{5^{n}}{n !}\).
\(\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{5}{n+1}≥1\)
⇒ \((u_n)\) est croissante.
* \(u_{n}=\frac{2n+5}{n+3}\).
\(f(x)=\frac{2x+5}{x+3}\).
\(f'(x)=\frac{6}{(x+3)^{2}}>0\); f est croissante sur IR+.
⇒ \((u_n)\) est croissante.

Exercice:

Étudier le sens de variation des suites \(u_{n}\) définies sur IN* on pourra, selon le cas:

soit raisonner par récurrence, 

soit étudier le signe de \(u_{n+1}-u_{n}\), 

soit étudier le signe de \(1-\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\) (suites à termes strictement positifs), 

soit étudier la fonction \(f\) telle que \(u_{n}=f(n)\)

a) \(u_{n}=\frac{n}{n+1}\)

b) \(u_{n}=\frac{{e}^{n}}{n!}\)

c) \(u_{n}=\frac{3 n-1}{2 n-1}\)

d) \(u_{n}=\sqrt[n]{n}\)

e) \(u_{n}=n^{2}-2^{n}\)

f) \(u_{n}=n-\ln(1+n)\)

g) \(u_{n}=\frac{1×3×...×(2 n-1)}{2×4×...×2n}\)

h) \(u_{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-...+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}\)

 🅒 Raisonnement par récurrence 

Soit P(n) une proposition qui dépend d'un entier naturel n. 
Si P(n₀​​) est vraie (initialisation) 
Et si P(n) vraie entraîne P(n+1) vraie (hérédité)
alors la propriété P(n) est vraie pour tout entier n⩾n₀​​.

Exemple:

Démontrer par récurrence:

P(n): \(1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

* Initialisation: pour n=1 

\(1^{2}=\frac{1(1+1)(2.1+1)}{6}\)=1 

⇒P(1​​) est vraie

* Hérédité: On suppose que p(n) est vraie.

\(1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

* Montrons que p(n+1) est vraie.

p(n+1)⇔ \(1^{2}+2^{2}+...+(n+1)^{2}=\frac{(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)}{6}\)

⇔ \(1^{2}+2^{2}+...+(n+1)^{2}=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}\).

Soit n∈IN:

 \(1^{2}+2^{2}+...+n^{2}+(n+1)^{2}\).

d’après hérédité

=\(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^{2}\).

=\(\frac{(n+1)[n(2n+1)+6(n+1)]}{6}\).

=\(\frac{(n+1)[2n²+7n+6)]}{6}\).

=\(\frac{(n+1)[2n²+4n+3n+6)]}{6}\).

=\(\frac{(n+1)[2n(n+2)+3(n+2))]}{6}\).

=\(\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}\).

Donc: P(n): \(1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\).

Exercice:
Démontrer par récurrence les propriétés suivantes :
1) \(1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}\)
2)\(S_{n}=1^{3}+3^{3}+5^{3}+...+(2 n-1)^{3}=2 n^{4}-n^{2}\).

3) ∀ n ≥ 4:  \(2^{n} ≤ n !\).

4) ∀ n ≥ 5:  \(3^{n} > n^{3}\).

5) ∀ n ≥ 7:  \(3^{n} <  n !\).

 🅓   Majorée /Minorée / Bornée   
une suite \((u_{n})\) est majorée par un réel M si ∀ n∊ℕ \(u_{n}≤M\).
une suite\((u_{n})\) est minorée par un réel m si ∀ n∊ℕ \(u_{n}≥m\).
une suite \((u_{n})\) est bornée, si elle est à la fois majorée et minorée.
Ceci équivaut au fait qu’il existe deux réels m et M
tels que: ∀ n∊ℕ \(m≤ u_{n} ≤M\).

Exercice:
① La suite \(u\) est définie par:

\(\left\{\begin{array}{l} u_{0}=-2 \\ u_{n+1}=1+\frac{1}{u_{n}}\end{array}\right.\)

a) Démontrer par récurrence que la suite \(u\) est minorée par \(\frac{3}{2}\) et majorée par 2 .

② La suite \(u_{n}\) est définie par:

\(\left\{\begin{array}{l} u_{0}=-2 \\ u_{n+1}=\frac{9}{6-u_{n}} \end{array}\right.\)

a) Démontrer par récurrence que : pour tout nombre entier naturel \(n, u_{n}<3\).

b) Étudier le sens de variation de la suite \(u_{n}\).

 🅔 Suite Périodique 

Une suite périodique s'il existe un entier naturel non nul p tel que:

\(u_{n} ​= u_p\). p est appelé une période de \((u_{n})\).

Exemple:
\(u_{n} ​= Sin(\frac{nπ}{3})\)
\(u_{n+6} ​=Sin(\frac{(n+6)π}{3})=Sin(\frac{nπ}{3}+2π)\)
⇒ \(u_{n+6}=u_n\).
⇒ \((u_n)\) est périodique de période p=6.

 🅗 Suite convergente / divergente 

Une suite \((u_n)\) a pour limite un nombre \(l\)∈IR.
lorsque les nombres \(u_n\) se rapprochent indéfiniment de \(l\) pour des entiers n de plus en plus grands.
On dit alors que la suite\((u_n)\) converge vers \(l\) (convergente de limite \(l\) ).
Ceci se note par: \(\lim _{n⟶+∞}u_n=l\).
* Toute suite croissante et majorée est convergente.
* Toute suite décroissante et minorée est convergente.
* Composition de limites 

① f est une fonction définie sur I, 

(u_n) une suite d'éléments de I. 

Soit a et l des réels. 

Si \(\lim_{n⟶+∞}u_n=a\) et \(\lim_{x⟶a}f(x)=l\) 

alors \(\lim_{n⟶+∞}f(u_n)=l\) .

Exemple : 

Soit le suite (u_n).

définie pour tout entier n par : \(v_n=\frac{2n²+3}{n²+2}\)

On a : \(\lim_{n⟶+∞}v_n=2\).

\(v_n=f(u_n)\)
avec \(f(x)=\frac{2x+3}{x+2}\) et \(u_n=n^{2}\)

② f est une fonction définie sur I, 

(u_n) une suite d'éléments de I. 

Si \(\lim_{n⟶+∞}u_n=+∞\) et \(\lim_{x⟶+∞}f(x)=+∞\) 

alors \(\lim_{n⟶+∞}u_n=+∞\).

Exemple : Soit le suite (u_n).

définie pour tout entier n par : \(u_n=\frac{n²+1}{n+2}\)

On a : \(\lim_{n⟶+∞}u_n=+∞\) .

③ Si deux suites convergentes (u_n) et (v_n) 

telles que, à partir d'un certain indice, u_n>v_n

 alors  \(\lim_{n⟶+∞}u_n ≥\lim_{n⟶+∞}v_n \).

Exemple : 

① Soit le suite (u_n).

définie pour tout entier n par : \(u_n=\frac{1}{n}+n\)

\(u_n≥n\) et \(\lim_{n⟶+∞}n=+∞\) .

On a : \(\lim_{n⟶+∞}u_n=+∞\) .

② Soit le suite (u_n).

définie pour tout entier n par : \(u_n=-1-n²\)

\(u_n≤-2n \) car (-1-n²-(-2n)=-(n-1)²)) et \(\lim_{n⟶+∞}-2n=-∞\) .

On a : \(\lim_{n⟶+∞}u_n=-∞\) .

④ passage à la limite dans les inégalités larges.

\((u_n), (v_n) et (w_n)\) trois suites telles que : \(v_n ≤ u_n ≤ w_n\) (∀n⩾n₀​​).
et si: \(\lim _{n⟶+∞}v_n=w_n=l\) alors on a : \(\lim _{n⟶+∞}u_n=l\).

Exemple : 

1- Soit le suite \((u_{n})\).
tel que pour tout entier n on a:
\(|u_{n}-2|≤\frac{1}{n}\)
⇒ \(2-frac{1}{n}≤u_{n}-2≤2+\frac{1}{n}\)
on a: \(\lim_{n⟶+∞}2-\frac{1}{n}=2\) et \(\lim_{n⟶+∞}2+\frac{1}{n}=2\)
donc \(\lim _{n⟶+∞}u_{n}=2\).

⑤ Limite de la suite géométrique \(q^{n}\)
Si q>1 alors \(\lim _{n⟶+∞} q^{n}=+∞\)
Si q =1 alors\(\lim _{n⟶+∞} q^{n}=1\)
Si −1< q<1 alors \(\lim _{n⟶+∞} q^{n}=0\)
Si q≤ −1 alors \(q^{n}\) n’a pas de limite.

⑥ Limite de la suite \(n^{a}\)
Si a>0 alors \(\lim _{n⟶+∞} n^{a}=+∞\)
Si a<0 alors \(\lim _{n⟶+∞} n^{a}=0\)

  Exemples de suites numériques 

 ① Suites arithmétiques 

Définition
Une suite \(u_{n}\) est arithmétique s'il existe un réel r tel que \(u_{n+1}=u_{n}+r\).
Le réel r est appelé la raison de la suite. 

Exemple: \(u_{n}=3n+2\) : n∈ℕ

\(u_{n+1}-u_{n}=3(n+1)+2-3n-2=3∈ℝ\).

\((u_{n})_{n⩾n₀​}\) est une suite arithmétique

de raison 3∈ℝ et son premier terme \(u_{0}=3×0+2=2\).

Expression de \(u_{n}\)  en fonctions de n (Terme général)

\((u_{n})_{n⩾n₀​}\) est une suite arithmétique de raison r∈ℝ.

 alors: ∀n⩾p⩾n₀, \(u_{n} = u_{p} + (n-p)×r\).
pour p=0: \(u_{n} = u_{0} + n×r \)  avec n⩾0.
pour p=1: \(u_{n} = u_{1} + (n-1)×r \)  avec n⩾1.
Somme de termes successifs d’une suite arithmétique
\((u_{n})_{n⩾n₀​}\) est une suite arithmétique alors:
 \(S_{n} = u_{p}+u_{p+1}+....+u_{n}=\frac{(u_{p}+u_{n})×(n-p+1)}{2}\).

avec n⩾p⩾n₀,
\(S_{n} =\frac{((1er\,terme\,+\,dernier\,terme\,)×(\,nbre\, de\, termes)}{2}\)
(nbre de termes=der-Pre+1=n-p+1)
pour p=0: \(S_{n} = u_{0}+u_{p+1}+....+u_{n}\).

⇒ \(S_{n}=\frac{(u_{0}+u_{n})×(n+1)}{2}\).

Exercice:

Soit \(u_{n}\) une suite arithmétique 

de raison \(r=6\) et de premier terme \(u_{1}=1\)

Calculer n pour que \(u_{1}+u_{2}+...+u_{n}=280\)

Calculer \(u_{n}\) pour la valeur trouvée de n.

 ② Suite géométrique 

Définition

Une suite (un) est géométrique s'il existe un réel q 

tel que \(u_{n+1}= q×u_{n}\).

Exemple: \(u_{n} =2^{n} \) : n∈ℕ

\(\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{2^{n+1}}{2^{n}}=2^{n+1-n}=2∈ℝ\).
\((u_n)_{n⩾n₀​}\) est une suite géométrique 

de raison 2∈ℝ et son premier terme \(u_{0}=2^{0}=1\).
Expression de un en fonctions de n (Terme général)
\((u_n)_{n⩾n₀​}\) est une suite géométrique raison q∈ℝ

alors: ∀n⩾p⩾n₀, \(u_{n} = u_{p}×q^{(n-p)}\)
⇒ pour p=0: \(u_{n} = u_{0}×q^{n}\)  avec n⩾0.

⇒ pour p=1: \(u_{n} = u_{1}×q^{(n-1)}\) avec n⩾1..

Somme de termes successifs d’une suite géométrique
\((u_n)_{n⩾n₀​}\) est une suite géométrique alors:
∀n⩾p⩾n₀ \(S_{n} = u_{p}+u_{p+1}+....+u_{p}=\frac{1-q^{(n-p+1)}}{1-q}×u_{p}\).
\(S_{n} = \frac{1-q^{(nbre\, de\, termes)}}{1-q}×(1er\,terme)\).
pour p=0: \(S_{n} =\frac{1-q^{(n+1)}}{1-q}×u_{0}\).
pour p=1: \(S_{n} =\frac{1-q^{n}}{1-q}×u_{1}\).

Exercice:

① Soit \((u_{n})\) une suite arithmétique croissante telle que :

\(\left\{\begin{array}{l} u_{1}+u_{2}+u_{3}=9 \\ u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}=35 \end{array}\right.\)

1) Calculer le premier terme \(u_{0}\) et la raison r de cette suite, 

puis exprimer le terme général \(u_{n}\) en fonction de n.

2) Soit \((v_{n})\) la suite définie par: \(v_{n}=2^{u_{n}}\)

a) Montrer que \((v_{n})\) est une suite géométrique 

pour laquelle on déterminera \(v_{0}\) et la raison.

b) Calculer \(P_{n}=v_{0}×v_{1}×...×v_{n}\).

②On considère deux suites numériques définies par pour tout n de IN:

\(u_{n}=\frac{3^{n}-6 n+4}{3}\) 

et \(v_{n}=\frac{3^{n}+6 n-4}{3}\)

1) Soit \(a_{n}=u_{n}-v_{n}\)

Montrer que la suite de terme général \(a_{n}\) est une suite arithmétique.

Calculer \(a_{0}+a_{1}+...+a_{10}\)

2) Soit \(b_{n}=u_{n}+v_{n}\)

Montrer que la suite de terme général \(b_{n}\) est une suite géométrique.

Calculer \(b_{0}+b_{1}+...+b_{10}\)

3) En déduire les sommes :

\(u_{0}+u_{1}+...+u_{10}\).

et \(v_{0}+v_{1}+...+v_{10}\).

 ③ Suites du type \(u_{n}=f(n)\) 

A toute fonction f définie sur un intervalle de IR, du type ]b;+∞[ , 

on peut associer une suite (un) telle que \(u_{n}=f(n)\)  .

- le sens de variation de f implique celui de la suite.
- si f est majorée, minorée, bornée sur ]b;+∞[ , il en est de même de la suite.

- si f a une limite \(l\) en +∞, alors la suite a aussi pour limite \(l\).

Exemple:

monotonie et limite de:

\(u_{n}=\frac{n}{n²+n}\) avec\(f(x)=\frac{x}{x²+x}\) 

\(v_{n}=n-ln(n)\) avec f(x)=x-ln(x).

Exercice:

Étudier le comportement de la suite de terme général \(u_{n}\) quand n tend vers +∞.

1) \(u_{n}=\frac{5 n+1}{2 n+3}\)

2) \(u_{n}=\frac{7 n-1}{3 n-1}\)

3) \(u_{n}=\frac{5 n^{2}+3 n+1}{n^{2}+n+1}\)

4) \(u_{n}=\frac{-2 n^{2}+3 n+1}{3 n^{2}-n+7}\)

5) \(u_{n}=\frac{2 n+1}{3 n^{2}+2 n+1}\)

6) \(u_{n}=\frac{5 n^{2}+3}{2 n+1}\)

7) \(u_{n}=\frac{4 n+(-1)^{n}}{3 n+2}\)

8) \(u_{n}=\frac{2 n^{2}+(-1)^{n} \cdot n+1}{n^{3}+1}\)

9) \(u_{n}=2 n+1-\sqrt{n^{2}+n+1}\)

10) \(u_{n}=n+3-\sqrt{n^{2}-n+1}\)

11) \(u_{n}=\sqrt{2 n^{2}+n+1}-\sqrt{2 n^{2}+5}\)

12) \(u_{n}=\frac{1}{\sqrt{n^{2}-n+1}-\sqrt{n^{2}+n+1}}\)

13) \(u_{n}=\frac{\sqrt{n^{2}+n}-\sqrt{n^{2}+1}}{\sqrt{n+1}}\)

14) \(u_{n}=\frac{n+1}{\sqrt{n+2}}-\frac{n+1}{\sqrt{n+2}}\)

15) \(u_{n}=\frac{n-\sqrt{n^{2}+1}}{\sqrt{n^{2}+n+3}}\)

16) \(u_{n}=\frac{10^{n}-1}{10^{n}+3}\)

 ④ Suites du type \(u_{n+1}=f(u_{n})\) 

a) Représentation graphique
On trace dans un repère orthonormal, la courbe C de la fonction f.

Le réel \(u_{0}\)étant donné, 

- on obtient \(u_{1}=f(u_{0})\) 

comme ordonnée du point de (C) d'abscisse \(u_{0}\); 

soit \(A_{0}(u_{0},u_{1})\) ce point.

On place \(u_{1}\) sur l'axe des abscisses, pour cela, on utilise la droite (Δ) d'équation y = x; 

le point d'intersection de (Δ) et de la droite horizontale  \(y=u_{1}\) a pour abscisse \(u_{1}\): ayant ainsi placé \(u_{1}\) sur l'axe des abscisses.

on obtient \(u_{2}=f(u_{1})\) 

de la même manière que  \(u_{1})\) (voir figure)

et on continue …

Plan d’étude des suites \(u_{n+1}= f( u_{n})\)
Soient \(( u_{n})_ {n⩾n₀}\) une suite numérique définie par : \(u_{n+1}= f( u_{n})\).
les points essentiels de ce qu’il faut faire pour étudier cette suite.
1) il faut trouver un intervalle I = [a, b] (fermé et borné) qui soit stable par f, c’est-à-dire que \(f(I) ⊂ I\).
2) Ensuite vérifier que la fonction f est continue sur I.
3)\(( u_{n})_ {n⩾n₀}\) est une suite convergente.
Aors \(\lim _{n⟶+∞} u_{n}=l\) avec \(l\) est la solution de l’équation : f (x) = x 

(les points fixes de f ).

Exemple:
f(x)=\(\frac{5x-4}{x+1}\) I= [2,5]
\(u_{n+1}= f( u_{n})\) avec \(u_{n}\) converge. 
Calculer \(\lim _{n⟶+∞} u_{n}\)
Ona : 
* f est continue sur [2,5] ①
* f est croissante 

⟶ f(2)=2 et f(5) =\(\frac{21}{6}\) 

⟶ \(f([2,5])=[2,\frac{21}{6}]\) 

* \(f([2,5])⊂[2,5]\) ②
* \(u_{n}\) converge ③
Alors \(\lim _{n⟶+∞} u_{n}=l\) avec f(\(l\)=(\(l)\) 
résoudre de l’équation : f (x) = x
\(\frac{5x-4}{x+1}\)=x⟶ 5x-4=x(x+1) ⟶ 5x-4=x²+x
⟶x²-4x+4=0 ⟶ (x-2)²=0 ⟶ x=2.
donc \(\lim _{n⟶+∞} u_{n}=2\).

 ⑤ Suites définies par des sommes 

On pose, pour tout n de IN*:

\(u_{n}=\sum_{k=1}^{k=n}\frac{1}{k²}\) 

- Montrer que  \(u_{n}\) est croissante.
- Montrer que pour k≥2:

\(\frac{1}{k²}≤\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\) 

- En déduire que \((u_{n})\) est majorée par 2.

- Montrer alors la convergence de la suite \(u_{n}\).

 ⑥  Suites homographiques 

\(u_{n+1}=\frac{au_{n}+b}{cu_{n}+d}\)  avec ad-bc≠0

Soit f une fonction tel que: f x➝\(f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}\)

On montre que :
- Si f(x) = x a deux solutions α et β la suite définie par:

\(v_{n}=\frac{u_{n}-β}{u_{n}-α}\) est géométrique.

- Si f(x) = x a une solution unique α, la suite définie par:

\(v_{n}=\frac{1}{u_{n}-α}\) est arithmétique.

Exemple 1. 

Soit la suite (un) définie par \(u_{0}=1\): \(u_{n+1}=\frac{u_{n}+2}{u_{n}}\) 

On a : (a=1,b=2,c=1,d=0 et ad-bc=-2≠0).

la fonction f: x➝\(f(x)=\frac{x+2}{x}\)

- Vérifier que α=-1 et β=2 sont les solutions de f(x)=x.
- On pose: \(v_{n}=\frac{u_{n}-2}{u_{n}+1}\).

Démontrer que \((v_{n})\) est une suite géométrique.
- Exprimer \(v_{n}\), puis  \(v_{n}\)en fonction de n. 

En déduire \(\lim _{n⟶+∞} u_{n}\).

Exemple 2. 

Soit la suite (un) définie par \(u_{0}=1\): \(u_{n+1}=\frac{4u_{n}-1}{u_{n}+2}\) 

On a : (a=4,b=-1,c=1,d=2 et ad-bc=9≠0).

la fonction f: x➝\(f(x)=\frac{4x-1}{x+2}\)

- Vérifier que α=1 l'unique solution de f(x)=x.
- On pose: \(v_{n}=\frac{1}{u_{n}-1}\).

Démontrer que \((v_{n})\) est une suite arithmétique.
- Exprimer \(v_{n}\), puis  \(v_{n}\)en fonction de n. 

En déduire \(\lim _{n⟶+∞} u_{n}\).

Exercice:

Une suite \((U_{n})\) est définie par son premier terme \(U_{1}=\frac{2}{7}\) 

et par la relation:\(U_{n+1}=\frac{U_{n}}{3-U_{n}}\)

(on admettra que quel que soit n de IN*, \(U_{n}≠0\) et \(U_{n}≠3\).

1) Calculer \(U_{2}\) et \(U_{3}\) 

2) Soit \((V_{n})\) la suite définie par: \(V_{n}=\frac{1}{U_{n}}\)

Calculer \(V_{1}\).

Montrer que pour tout n de IN, \(V_{n+1}=3V_{n}-\frac{1}{2}\)

3) Soit \((W_{n})\) la suite définie par: \(W_{n}=V_{n}-\frac{1}{2}\)

Déterminer \(W_{n+1}\) en fonction de \(W_{n}\) 

et calculer le premier terme \(W_{n}\).

Quelle est la nature de la suite \((W_{n}) ?\)

Calculer le terme \(W_{n}\) en fonction de n.

4) En déduire l'expression générale de \(U_{n}\) en fonction de n.

 ⑦  Suites adjacentes 

On dit que deux suites \(u_{n}\) et \(v_{n}\) sont adjacentes lorsque:

* l'une est croissante et l'autre est décroissante 

* la limite \(\lim_{n⟶+∞}u_{n}-v_{n}=0\)

Si deux suites \(u_{n}\) et \(v_{n}\) sont adjacentes alors elles sont convergentes et ont même limite.

Exercice:

On définit les deux suites  \(u_{n}\) et \(v_{n}\) par:

* \(u_{0}=1\) et pour tout n de IN:

\(u_{n+1}=\frac{u_{n}+2v_{n}}{3}\) 

* \(v_{0}=12\) et pour tout n de IN:

\(v_{n+1}=\frac{u_{n}+3v_{n}}{4}\) 

- On pose \(w_{n}=v_{n}-u_{n}\), pour tout n de IN.

Démontrer que \((w_{n})\)  est une suite géométrique 

et exprimer \(w_{n}\)  en fonction de n.
En déduire la limite de \((w_{n})\).
- Démontrer que \(u_{n}\) est croissante et que \(v_{n}\) est décroissante.

Que peut-on conclure sur les suites  \(u_{n}\) et \(v_{n}\).
- On pose  \(t_{n}=3u_{n}+8v_{n}\).

Démontrer que: \(t_{n}\) est une suite stationnaire. 

En déduire la limite de \(u_{n}\) et \(v_{n}\).

 ⑧ Suites du type \(u_{n+1}=(au_{n}+bu_{n-1})\) 

On résoudre l'équation r²-a r- b=0:

* l'équation r²-a r- b=0 a deux racines distinctes r1 et r2,

les solutions sont de la forme:

\(u_{n}=αr_{1}^{n}+βr_{2}^{n}\) où α et β sont des constantes.

* l'équation r²-a r- b=0  a une racine double r, 

les solutions sont de la forme:

\(u_{n}=(α+βn)×r_{2}^{n}\) où α et β sont des constantes.

Exemples : 

 Etudier les suites \(u_{n}\) et \(v_{n}\)  définies par :

*\(u_{n}=u_{n-1}+u_{n-2}\) et \(u_{0}=u_{n}=1\)

*\(v_{n+1}=2v_{n}+v_{n-1}\) et \(v_{0}=7\),\(v_{1}=3\)

 ⑨ Suites définies a l'aide d'intégrales 

On pose 

\(I_{0}=\int_{1}^{e} x dx\) et pour tout n de IN*:

\(I_{n}=\int_{1}^{e} xln(x)^{n} dx\).

a) Calculer\(I_{1}\) et \(I_{2}\).

b) Pour tout n de IN:

établir la relation de récurrence \(2I_{n}+nI_{n-1}=e^{2}\). 

2) Calculer \(I_{2}\).

3) Montrer que la suite \(I_{n}\) est décroissante.
4) En utilisant la relation de récurrence, montrer l'encadrement:

 \(\frac{e²}{n+3}≤I_{n}≤\frac{e²}{n+2}\). 

5)Calculer \(\lim_{n⟶+∞} I_{n}\)  et \(\lim_{n⟶+∞} nI_{n}\) .

 ⑩ Suites extraites 

*Une suite \(v_{n}\) est dite extraite de la suite \(u_{n}\) 

si elle est définie par \(v_{n}=u_{n'}\) 

avec n'=g(n) où g est une application croissante de IN dans IN.

*Si la suite  \(u_{n}\) est convergente, toute suite extraite \(v_{n}\) est convergente et a la même limite.

La réciproque de cette propriété est inexacte, c'est-à-dire qu'il existe des suites non convergentes dont on peut extraire des suites convergentes.

Par exemple: 

la suite \(u_{n}=(-1)^{n}\) n'est pas convergente,

alors que les suites extraites:

\(v_{n}=(-1)^{2n}\) et \(w_{n}=(-1)^{2n+1}\) sont convergentes.

 ⑪ Suites de nombres complexes 

Une suite de nombres complexes est une application de IN dans ℂ.
Le terme général est donc un nombre complexe:

 \(u_{n}=a_{n}+ib_{n}\).

où \(a_{n}\)∈IR ,  \(b_{n}\)∈IR. 

Si \(\lim_{n⟶+∞} a_{n}=a\) 

et \(\lim_{n⟶+∞} b_{n}=b\) 

alors la suite \(u_{n}\)  est dite convergente.