Olympiade Math - Fonction - Ex 07

Olympiade de Mathématiques

( compétition de mathématiques destinée aux élèves des lycées et collèges)

Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.

Olympiade Math - Fonction Exercice 07

F est une fonction définie sur IN:

Tel que: 

* F(11)=11

* pour tout entier naturel n, on a :

   F(n+3)= [F(n)-1] / [F(n)+1]

Calculer f(2018)?

* On a: F(11)=11
* F(11+3)= (F(11)-1) / (F(11)+1)
➝ F(13)=10/12=5/6

* F(14)= (f(13)-1) / (f(13)+1)
F(14)= (10/12 - 1) / (10/12+1)
➝ f(14)= -2/22=-1/11
* de même maniéré on conclu:

F(11+3x0)= 11

F(11+3x1)= 5/6

F(11+3x2)=-1/11

F(11+3x3)=-6/5

Calculon F(11+3x4))

F(11+3x4)=(f(11+3x3)-1) / (f(11+3x3)+1)

F(11+3x4)=(-6/5-1) / (-6/5+1)

F(11+3x4)=-11/5 / -1/5= 11

F(11+3x4)=F(11+3x0)

il est facile à montrer par récurrence:

F(11+3(4n))=11

F(11+3(4n+1))=5/6

F(11+3(4n+2))=-1/11

F(11+3(4n+3))=-6/5

* on prend: n=167

F(2018)=11+ 3x(4x167+1)=11+ 3x(4x167+1)

Donc: F(2018)=5/6

Liens utiles :

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