Olympiade Math - Combinatoire - Ex 03

Olympiade de Mathématiques

( compétition de mathématiques destinée aux élèves des lycées et collèges)

Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.

Olympiade Math - Combinatoire - Exercice 03

Trouver le Nombre qui occupe la position 2019 dans la suite suivante:

1,3,3,3,5,5,5,5,5,7,7,7,7,7,7,7,.......

* k=1:  nombre 1=2x1-1➝ (1 terme)
* k=2:  nombre 3=2x1-1➝ (3 terme)
* k=3:  nombre 5=2x3-1➝(5 terme)
.
.
.
* k=n: nombre (2n-1) ➝  (2n-1) terme

* on pose: S=Nombre des termes dans  la suite jusqu’à le nombre (2n-1).
S=1+3+5+....(2n-1) ①
* d'autre part: écrire S a inverse.
S=(2n-1)+(2n-3)+(2n-5)....+1 ②
①+②:
S+S=2S=2n+2n....+2n=2n²
➝ S=n²

* Conclusion:
à la fin de chaque nombre (2n-1) on a la position n².

* or on a: 44²=1936<2019<45²=2025
à la fin de nombre 87=(2x44-1) on a la position 44²=1936. Après 83 termes du nombre 89 on aura la position:1936+83=2019.

➡️ donc le nombre qui occupe 2019: 89

Liens utiles :

L’Olympiade Internationale de Mathématiques (OIM)
site officiel de l’OIM, fondation de l’OIM

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