Olympiade Math - Arithmétique 01 - Ex 20

Olympiade de Mathématique 

( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)

Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.

Olympiade de Math - Arithmétique Niveaux 01 - Exercice 20

Trouver tous les entiers positifs a et b,
pour les quels  a⁴+4b⁴ est un nombre premier.

Voir Solution

* On a:
a⁴+4b⁴=a⁴+2a²x2b²+4b⁴-2a²x2b²

a⁴+4b⁴=(a²+2b²)²-(2ab)²

a⁴+4b⁴=(a²+2b²-2ab)(a²+2b²+2ab)

➝ a²+2b²-2ab et a²+2b²+2ab sont deux diviseur de a⁴+4b⁴.

avec a²+2b²-2ab ≤ a²+2b²+2ab

pour que a⁴+4b⁴ soit premier

( un premier a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même)

➝ a²+2b²-2ab=1 

➝ (a-b)²+b²=1

➝ (a-b=1 et b=0) (impossible car b>0) ou (a-b=0 et b=1) 

Donc : (a,b)=(1,1)

Liens utiles :

L’Olympiade Internationale de Mathématiques (OIM)

site officiel de l’OIM, fondation de l’OIM

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