Olympiade Math - Arithmétique 01 - Ex 14

Olympiade de Mathématique 

( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)

Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.

Olympiade de Math - Arithmétique Niveaux 01 - Exercice 14

n un entier naturel. Montrer que :

a) si n est la somme des carrés de deux entiers consécutifs.
alors : 2n – 1 est le carré d’un entier.

b) si 2n – 1 est le carré d’un entier, alors n est la somme des carrés de deux entiers consécutifs.

Solution

a) Si n est la somme des carrés de deux entiers naturels cons.
➝ n = p² + (p + 1)² (p∈IN)
➝ 2n-1=2p²+2p²+4p+2-1
➝ 2n-1=(2p+1)²
➡️ 2n-1 est bien le carré d'un entier. 

b) si 2n – 1 est le carré d’un entier.
 c'est nécessairement le carre d'un entier impair. 
➝2n – 1=(2p+1)²
2n – 1= 4p²+4p+1
➝ n= 2p²+2p+1
n= p²+2p+1+p²
n= (p+1)²+p²
➡️ n est la somme des carrées de deux entiers consécutifs p et p + 1.

Liens utiles : 

L’Olympiade Internationale de Mathématiques (OIM)

site officiel de l’OIM, fondation de l’OIM

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