Olympiade de Mathématique
( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.
Olympiade de Math - Arithmétique Niveaux 01 - Exercice 16
Trouver toutes les solutions entières de l’équation:
x²+y² = 3(u²+v²)
Solution
On a:
x²+y² = 3(u²+v²)
➝ 3 divise x²+y² ①
On montre d’abord un premier résultat : si 3 divise x²+y² alors 3 divise x et 3 divise y.
En effet, soit x∊z
on a 3 cas x≡0 ou 1 ou 2[3]
➝ x²≡0 ou 1[3]
de même pour y²≡0 ou 1[3]
* les carrés modulo 3 valent toujours 0 ou 1.
* Ainsi ① la somme de deux carrés vaut zéro modulo 3 si et seulement si les deux carrés sont congrus à zéro modulo 3.
* le résultat. Soient x, y, u, v des entiers non tous nuls. Alors 3 divise x² + y², donc x et y sont divisibles par 3 par le résultat précédant.
➝ x=3a & y=3b
* x²+y²=3(u²+v²)
9(a²+b²)=3(u²+v²)
u²+v²=3(a²+b²)
donc u et v sont divisibles par 3 (par le résultat précédant).
➝ x, y, u, v sont divisibles par 3.
*Ainsi x'=x/3,y'=y/3,u'=u/3,v'=v/3 satisfont la même équation. Ainsi ces quatre entiers sont divisibles par trois par le même raisonnement, et ainsi de suite.
*Ainsi x, y, u,v peuvent être divisés par 3ⁿ ∀n∈IN.
* donc ils sont tous nuls.
(Principe de descente infinie
)
➡️La seule solution est alors (0, 0, 0, 0).
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