Olympiade Math - Algèbre 02 - Ex 19

Olympiade de Mathématique 

( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)

Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.

Olympiade Math - Algèbre 02 - Exercice 19

Trouvez Tous les nombres x,y et z strictement positifs.Tel que:
x+y+1/z = y+z+1/x = z+x+1/y =3

Solution

On a:
x+y+1/z=y+z+1/x
➝ x-z=1/z-1/y
➝ xz(x-z)=(z-x) 
➝ (x-z)(xz+1)=0 ①
*  on a: x>0 & z>0 ➝ xz>0)
① ➝ x=z
* de même on trouve : x=y=z

on a
x+y+1/z=3
➝ 2x+1/x=3
➝ 2x²+1-3x=0

➝ 2x²-2x+1-x=0
➝ 2x(x-1)-(x-1)=0
➝ (x-1)(2x-1)=0
➝ x=1 ou x=1/2
➡️ S=(1,1,1) ou (1/2,1/2,1/2).

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Liens utiles :

L’Olympiade Internationale de Mathématiques (OIM)
site officiel de l’OIM, fondation de l’OIM

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