Olympiade Math - Géométrie 01 - Ex 08

Olympiade de Mathématiques

( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)

▶️Olympiade Math - Géométrie 01 - Exercice 08

ABCD est un rectangle,
E et F les milieux des côtés [AD] et [DC].
G l’intersection des droites (AF ) et (EC).

Montrer que : les angles CĜF et FB̂E sont égaux.

Solution

ona

*dans le triangle CGF

→ CĜF=g=180°-(f₁+f₂+c) ①

Calculons f₁,f₂ et c

* le triangle ABF est isocèle en F(BF=AF)

→ a=b₁+b₂

(somme des angles du triangle ABF)

 → a+b₁+b₂+f₁=180° 

→ b₁+b₂+b₁+b₂+f₁=180°

→ f₁=180°-2(b₁+b₂) ②

*  ABE & DCE deux triangles semblables

→DĈE=EB̂A

→ c=b₁  ③

* Deux droites parallèles (AB)&(DC)coupées par une sécante (BF)déterminent des angles alternes-internes de même mesure.

→ f₂=b₁+b₂ ④

on remplace ②&③&④ dans ①

① → g=180°-(f₁+f₂+c)

→ g=180°-(180°-2(b₁+b₂)+b₁+b₂+b₁)

→ g=180°-180°+2(b₁+b₂)-b₁-b₂-b₂)

→ g=b₂

▶️ les angles CĜF et FB̂E sont égaux

Liens utiles : 

L’Olympiade Internationale de Mathématiques (OIM)
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